[論文レビュー] Contraction options and optimal multiple-stopping in spectrally negative Levy models

Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の負のジャンプを伴うジャンプ・ドリフト過程に従う現金フローを有する、スペクトル的に負の Lévy モデルにおける収縮オプションの最適な複数停止枠組みを構築する。閾値型の最適停止時刻を確立し、値関数をスケール関数を用いて表現することで、急激な下落や凹型の放棄コストを伴う複数段階の引き出しを許容する古典的なアメリカン・オプションモデルの一般化を達成する。

ABSTRACT

This paper studies the optimal multiple-stopping problem arising in the context of the timing option to withdraw from a project in stages. The profits are driven by a general spectrally negative Levy process. This allows the model to incorporate sudden declines of the project values, generalizing greatly the classical geometric Brownian motion model. We solve the one-stage case as well as the extension to the multiple-stage case. The optimal stopping times are of threshold-type and the value function admits an expression in terms of the scale function. A series of numerical experiments are conducted to verify the optimality and to evaluate the efficiency of the algorithm.

研究の動機と目的

• 幾何 Browmian 動的過程では捉えきれない急激な低下を許容する一般のスペクトル的に負の Lévy プロセスに従う現金フローを有する段階的プロジェクト放棄のリアルオプションをモデル化すること。
• 時間依存の現金フローと一括支払い利益を伴うプロジェクトからの段階的引き出しを可能にする、古典的な最適停止問題を複数段階に拡張すること。
• 営業利益関数および放棄コスト関数の一般形に対する最適停止時刻および値関数の明示的解を導出すること。
• 閾値型戦略の最適性を検証し、スケール関数表現を用いることで計算の実行可能性を保証すること。

提案手法

• モデルは、拡散成分および負のジャンプ成分を組み込んだスペクトル的に負の Lévy プロセスを用いてプロジェクト価値ダイナミクスを表現する。
• 最適停止時刻は、Lévy プロセスのスケール関数を用いて導出され、自由境界および値関数の明示的特徴付けを可能にする。
• 値関数は、スケール関数 $ W^{(r)} $ および $ Z^{(r)} $ と、利益関数およびコスト関数を含む積分の組み合わせとして表現される。
• 解は、スムーズ・パスティング条件および一次条件と連続性/滑らかさ適合の同値性に依拠しており、スペクトル的に負の Lévy プロセスに関する先行研究で確立されたものである。
• 複数段階の場合、問題は、1段階の場合と同一の構造的仮定を満たす逐次的な最適停止部分問題に分解される。
• 最適性の検証およびアルゴリズム効率の評価のため、数値実験が実施される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となるプロジェクト価値が一般の負のジャンプを伴うスペクトル的に負の Lévy プロセスに従う場合、1段階の収縮オプションの最適停止ルールは何か？
• RQ2 企業が複数段階にわたりプロジェクトから引き出すことができる場合、最適な複数停止問題はどのように解けるか？各段階には異なる現金フローおよび放棄利益関数が存在する。
• RQ3 一般の凹型かつ単調減少の放棄コストが存在する状況において、最適停止時刻はどのような条件下で依然として閾値型のままであるか？
• RQ4 1段階および複数段階の両ケースにおいて、値関数はスケール関数を用いて明示的に表現可能か？
• RQ5 ジャンプの導入は、拡散モデルと比較して、最適停止境界の構造および計算にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 1段階問題の最適停止時刻は閾値型であり、スケール関数および Lévy プロセスのドリフトおよびジャンプ特性を含む非線形方程式を解くことで閾値が決定される。
• 値関数は、スケール関数 $ W^{(r)} $ および $ Z^{(r)} $ と、利益関数およびコスト関数の積分の組み合わせとして明示的に表現可能であり、計算を簡略化し、数値評価を可能にする。
• 複数段階の場合、最適停止時刻もまた閾値型であり、問題は1段階問題と同一の構造的形を有する逐次的な最適停止部分問題に分解される。
• 一括支払い利益関数 $ g $ が定数または線形形式でない一般の単調減少かつ凹型関数であっても、解は有効である。
• 数値実験により、閾値戦略の最適性が確認され、スケール関数計算に基づくアルゴリズムの効率性が示された。
• 本手法により、幾何 Browmian 動的過程からの古典的結果が、スペクトル的に負の Lévy プロセスへ一般化され、急激なプロジェクト価値の崩壊のモデル化が可能になった。