[論文レビュー] Control Barrier Functions for Systems with High Relative Degree

Wei Xiao, Călin Belta|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、相対次数が高い系に対して高次制御バリア関数（HOCBF）を導入し、指数関数的形ではなくクラス$\kappa$関数を用いることで、先行研究の手法を一般化する。この手法は、リャプノフ様の条件を用いて複数の集合の共通部分集合の前向き不変性を保証し、クラス$\kappa$関数の選択によって実時間における二次計画法ベースの制御の実行可能性と性能をカスタマイズ可能にする。実装は、アダプティブクルーズコントロール問題で検証された。

ABSTRACT

This paper extends control barrier functions (CBFs) to high order control barrier functions (HOCBFs) that can be used for high relative degree constraints. The proposed HOCBFs are more general than recently proposed (exponential) HOCBFs. We introduce high order barrier functions (HOBF), and show that their satisfaction of Lyapunov-like conditions implies the forward invariance of the intersection of a series of sets. We then introduce HOCBF, and show that any control input that satisfies the HOCBF constraints renders the intersection of a series of sets forward invariant. We formulate optimal control problems with constraints given by HOCBF and control Lyapunov functions (CLF) and analyze the influence of the choice of the class $\mathcal{K}$ functions used in the definition of the HOCBF on the size of the feasible control region. We also provide a promising method to address the conflict between HOCBF constraints and control limitations by penalizing the class $\mathcal{K}$ functions. We illustrate the proposed method on an adaptive cruise control problem.

研究の動機と目的

• 既存の制御バリア関数（CBF）が相対次数1の系に限定されているという限界に対処する。
• 複雑な力学系に一般的に見られる高相対次数制約を扱えるように、バリア関数理論を拡張する。
• 従来の指数関数的HOCBFよりも柔軟性に優れた、高次制御バリア関数（HOCBF）の一般枠組みを構築する。
• 二次計画法（QP）を用いた実時間制御合成を可能にする。このQPにはHOCBFと制御リャプノフ関数（CLF）を制約として組み込む。
• 制御入力制限（例：ブレーキ制限）とHOCBF制約の衝突を、ペナルティ付きクラス$\kappa$関数を用いて解消する手法を提供する。

提案手法

• リャプノフ様の条件を満たすことで、複数の集合の共通部分集合の前向き不変性を保証する、バリア関数の一般化として高次バリア関数（HOBF）を定義する。
• 複数の制約の共通部分集合の前向き不変性を保証する制御設計ツールとしてHOCBFを導入する。
• HOCBFとCLFを二次計画法（QP）の制約として組み込むことで、実時間フィードバック制御を可能にする最適制御問題を定式化する。
• クラス$\kappa$関数を用いてHOCBFをパrameter化し、バリア関数の挙動を形状づけ、制御可能領域に影響を与える柔軟性を提供する。
• HOCBF制約と制御入力限界（例：ブレーキ制限）の衝突を解消するために、クラス$\kappa$関数にペナルティ項を適用する。
• 安全制約と速度制約を満たすアダプティブクルーズコントロール（ACC）問題に、平方根、線形、二次のクラス$\kappa$関数を用いて手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御バリア関数を、高相対次数制約を持つ系に一般化する方法は何か？
• RQ2 異なるクラス$\kappa$関数（例：平方根、線形、二次）の選択が、HOCBFに基づく制御合成における制御可能領域のサイズに与える影響は何か？
• RQ3 実際の制御制限（例：ブレーキ制限）とHOCBF制約の衝突をどのように緩和できるか？
• RQ4 HOCBFを実時間の二次計画法に、制御リャプノフ関数（CLF）と効果的に組み合わせ、安全かつ安定した制御を実現できるか？
• RQ5 クラス$\kappa$関数の選択が、アダプティブクルーズコントロールのような実応用におけるシステムの性能と収束性に与える影響は何か？

主な発見

• クラス$\kappa$関数の選択は、制御可能領域に顕著な影響を与える。平方根関数では制御問題が過剰に制約され、システム性能が低下する。
• 平方根関数を$p=1$で使用した場合、ACC問題は過剰に制約され、車両$i$は所望の速度$v_d$に到達できない。
• $p$を2に増加させると性能が向上し、車両は所望の速度に到達し、前向き不変性を維持できる。
• 線形関数を$p=1$、二次関数を$p=0.02$で使用した場合、HOCBF制約はブレーキ制限と衝突せず、システムは安定を保つ。
• $t=20\,\text{s}$では、二次関数のHOCBF値は高い状態（$12.9729$）を維持している一方、平方根関数はゼロに近づいている（$2.8964\times10^{-7}$）ため、収束が遅いことが示唆される。
• すべてのクラス$\kappa$関数において、集合$C_1(t)\cap C_2(t)$の前向き不変性が維持されている。シミュレーションでは$b(\bm{x}_i(t))\geq0$および$\psi_1(\bm{x}_i(t))\geq0$が確認された。