[論文レビュー] Control of one and two homonuclear spins

Domenico D’Alessandro|ArXiv.org|Jun 22, 2001

Neural Networks and Reservoir Computing参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SU(2)およびSU(4)のリー群分解を用いて、1つおよび2つの相互作用する同一核スピン1/2粒子に対する明示的な制御則を提示する。これにより、任意の所望の最終状態への到達が可能となる。この手法は幾何的制御を用い、任意の制御限界と柔軟な最終時間（最小閾値を超える）を備えたパラメータ化されたパルスシーケンスを採用しており、制御パラメータの明示的公式により完全な可制御性を保証する。

ABSTRACT

We consider the problem of steering control for the systems of one spin 1/2 particle and two interacting homonuclear spin 1/2 particles in an electro-magnetic field. The describing models are bilinear systems whose state varies on the Lie group of special unitary matrices of dimensions two and four, respectively. By performing decompositions of Lie groups, taking into account the describing equations at hand, we derive control laws to steer the state of the system to any desired final configuration. Explicit formulas are given for the parameters involved in the control algorithms. Moreover, the proposed algorithms allow for arbitrary bounds on the magnitude of the controls and for some flexibility in the specification of the final time which must be greater than a given value but otherwise arbitrary.

研究の動機と目的

• 電磁場中の1および2つの相互作用するスピン1/2粒子に対する明示的制御則の開発を目的とする。
• 特殊ユニタリ群SU(2)およびSU(4)における任意の所望の最終状態への状態制御を達成すること。
• 制御振幅に任意の上限を設け、最終時間の選択を柔軟に行える制御アルゴリズムの提供。
• 幾何的制御およびリー群分解技術を用いて、制御パラメータの明示的公式の導出。

提案手法

• su(n)リー代数に属するハミルトニアンを用いたシュレーディンガー方程式による双線形制御系のモデル化。
• SU(2)およびSU(4)群の分解技術を適用し、制御設計を扱いやすい部分問題に還元。
• Eulerパarametrizationおよび回転に基づく座標変換を用いて、制御軸をパウリ行列に一致させる。
• 生成子の指数関数の積としての目標行列表現により、区分的定数制御則を導出。
• 特定の制御下での時間発展演像の周期性を活用し、最小閾値を超えて最終時刻を任意に延長可能にする。
• 回転の再帰的適用およびアイデンティティ回復プロトコルを用いて、制御シーケンスを構築し、目的状態を達成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御振幅に上限があり、最終時刻を柔軟に選べる条件下でも、1および2つの同一核スピン1/2系に対して完全な可制御性を達成できるか？
• RQ2 SU(2)およびSU(4)に対して、リー群分解を用いて明示的制御則をどのように導出できるか？
• RQ3 幾何的制御および座標変換は、量子スピン系の制御設計を簡素化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 任意の長時間にわたり単位行列に到達可能であることは、時間の柔軟性を持つ状態転送を可能にするか？
• RQ5 SU(2)またはSU(4)における任意の最終状態に到達可能であることを保証する明示的パラメータ公式は何か？

主な発見

• SU(2)およびSU(4)系に対して明示的制御則が導出され、群内における任意の最終状態への到達が可能となった。
• 制御アルゴリズムは、制御振幅に任意の上限を設けられ、最小閾値を超える最終時刻を選択可能である。
• 系の時間発展演像におけるアイデンティティ回復の周期性を活用することで、時間の柔軟性を持つプロトコルを実現した。
• 右不変性の性質により、最小値を超える限り、最終時刻を事前に設定可能である。
• Euler角およびパウリ行列分解に基づく解析的手法により、制御パラメータが明示的に計算可能となった。
• SU(2)に基づく構築ブロックと対角位相行列を組み合わせることで、SU(4)用の制御シーケンスの構築が可能となった。