[論文レビュー] Convergence and Optimality of Adaptive Methods for Poisson's Equation in the FEEC Framework

Michael Holst, Yuwen Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般のトポロジーと任意の空間次元をもつ領域において、ポアソン方程式に対する適応型混合有限要素法の収束性と準最適性を、有限要素外微分計算（FEEC）フレームワークを用いて確立する。著者らは、信頼性と有効性を兼ね備えた誤差推定子と、新規の準直交性結果を構築することで、データの振動を含む総誤差に関して、振動のマークアップや内部節点仮定を必要としない適応アルゴリズムの収縮性を証明した。

ABSTRACT

Finite Element Exterior Calculus (FEEC) was developed by Arnold, Falk, Winther and others over the last decade to exploit the observation that mixed variational problems can be posed on a Hilbert complex, and Galerkin-type mixed methods can then be obtained by solving finite-dimensional subcomplex problems. Chen, Holst, and Xu (Math. Comp. 78 (2009) 35-53) established convergence and optimality of an adaptive mixed finite element method using Raviart-Thomas or Brezzi-Douglas-Marini elements for Poisson's equation on contractible domains in two dimensions, which can be viewed as a boundary problem on the de Rham complex. Recently Demlow and Hirani (Found. Math. Comput. 14 (2014) 1337-1371) developed fundamental tools for a posteriori analysis on the de Rham complex. In this paper, we use tools in FEEC to construct convergence and complexity results on domains with general topology and spatial dimension. In particular, we construct a reliable and efficient error estimator and a sharper quasi-orthogonality result using a novel technique. Without marking for data oscillation, our adaptive method is a contraction with respect to a total error incorporating the error estimator and data oscillation.

研究の動機と目的

• R²における単連結領域に限らない、任意の空間次元およびトポロジーをもつ一般の領域へ、適応型混合有限要素法の収束性および最適性の結果を拡張すること。
• FEECフレームワーク内において、データ振動を考慮した信頼性と有効性を兼ね備えたa posteriori誤差推定子を確立すること。
• 内部節点性質のような人工的仮定を避ける新規の技法を用いて、より鋭い準直交性結果を導出すること。
• 離散誤差とデータ振動を組み合わせた総誤差ノルムに関して、適応アルゴリズムの収縮性を証明し、振動のための追加のマークアップステップを必要としない収束性を保証すること。
• 従来の文献からの追加仮定やAPPROXモジュールに依存しない、近似クラスの意味での準最適性を達成すること。

提案手法

• Hilbert複体上での混合変分問題を定式化するために、有限要素外微分計算（FEEC）フレームワークを用い、安定な混合法の体系的構築を可能にする。
• 局所残差とフラックス再構成に基づく信頼性と有効性を兼ね備えたa posteriori誤差推定子を構築し、総誤差の上界と下界を保証する。
• コhomology、境界、直交部分空間に関連する成分に誤差を分解する新規の技法を導入し、より鋭い準直交性推定を導出する。
• Dörflerのマークアップを、閾値パrameter θ < θ* を用いて実施し、十分な細分化を保証する。ここでθ* は安定性定数と近似定数に依存する。
• 誤差推定子、準直交性、マークアップ戦略を組み合わせることで、エネルギーノルムにおける総誤差（離散誤差＋データ振動）の収縮性を証明する。
• 近似クラス A_s と A_s^o を用いて、メッシュサイズの観点から収束速度を特徴づけ、標準的仮定の下で準最適性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FEECフレームワークを用いて、一般のトポロジーと任意の空間次元をもつ領域におけるポアソン方程式に対して、適応型混合有限要素法の収束性と最適性を確立できるか？
• RQ2 FEECの枠組みにおいて、それを明示的にマークアップする必要がないにもかかわらず、データ振動を考慮した信頼性と有効性を兼ね備えたa posteriori誤差推定子をどのように構築できるか？
• RQ3 FEECツールを用いて、内部節点性質やAPPROXモジュールのような仮定を避ける新規の技法により、より鋭い準直交性結果を導出できるか？
• RQ4 離散誤差とデータ振動を組み合わせた総誤差ノルムに関して、適応アルゴリズムが収縮するか？これにより、振動のための追加のマークアップステップなしに収束性が保証されるか？
• RQ5 近似クラスの観点から、適応法の収束速度は何か？また、人工的仮定に依存せずに準最適性を証明できるか？

主な発見

• 適応型混合有限要素法（AMFEM）は、振動のマークアップや内部節点仮定を必要とせず、離散誤差とデータ振動を組み合わせた総誤差ノルムに関して収束する。
• 信頼性と有効性を兼ね備えたa posteriori誤差推定子が構築され、総誤差の上界と下界を保証し、誤差推定のロバスト性を確保する。
• FEECツールを用いた新規の準直交性結果が導出され、APPROXモジュールや人工的仮定に依存しない誤差の収縮性を実現する。
• マークアップパラメータθが、問題定数に依存する閾値θ* よりも小さい場合、総誤差に関して収縮性が成立する。
• 準最適性が証明された：正確な解とデータが適切な近似クラス A_s および A_s^o に属する限り、自由度Nの観点から誤差は最適レート O(N^{-s}) で減少する。
• 収束性および最適性の結果は、一般の空間次元および非自明なトポロジーをもつ領域に対しても成り立ち、従来のR²における単連結領域に限った結果の拡張である。