[論文レビュー] Convergence of Hermitian-Yang-Mills Connections on Kähler Surfaces and mirror symmetry

Takeo Nishinou|ArXiv.org|Jan 28, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ空間へのフィブレーションを持つケーラー・トーラス $T^4$ 上のヘルミート・ヤン・ミルズ接続の断熱極限を研究し、鏡像対称性を介して可約接続が特別ラグランジュ部分多様体に収束することを示す。主な結果は、安定な正則バンドル（タイプB Dブレーン）の族から、タイプA Dブレーン（特別ラグランジュ部分多様体）を幾何学的に構成することであり、極限接続は特異ラグランジュ部分集合上で平坦なバンドルを形成する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to exhibit a natural construction between complex geometry and symplectic geometry following the idea of mirror symmetry. Suppose we are given a family of pairs of 2-dimensional Kähler tori and stable holomorphic vector bundles on them $(\hat M_{\ep}, E_{\ep})$, \ep \in (0, 1]$, and each has structure of a Lagrangian torus fibration $π:\hat M_{\ep} o B$ whose fibers are of diameter $O(\ep)$, and let $A_{\ep}$ be a family of hermitian Yang-Mills(HYM) connections on $E_{\ep}$. As $\ep$ goes to zero, $A_{\ep}$ will, modulo possible bubbles, converge to a connection which is flat on each fiber. Since each fiber is a torus, limit connection will determine elements of the dual torus, which are points of the fiber of the mirror $M_1$. These points gather to make up (special) Lagrangian variety.

研究の動機と目的

• 断熱極限（織り繰りの直径がゼロに収束する）において、$T^4$ 上のヘルミート・ヤン・ミルズ接続の極限挙動を解析すること。
• 従来の非可約接続に関する結果を、織り繰りに沿った可約接続の状況に拡張すること。
• 鏡多様体上の安定な正則バンドル（タイプB Dブレーン）から、特別ラグランジュ部分多様体（タイプA Dブレーン）をゲージ理論的構成によって得ること。
• SYZ図式と鏡像対称性を用いて、安定な正則バンドルと特別ラグランジュ部分多様体の間の対応を確立すること。
• 鏡像対称性およびドナルドソン＝フローリング理論に関連する、大複素構造極限におけるゲージ理論の基盤を築くこと。

提案手法

• Hessian幾何を用いて、$T^4 \to T^2_B$ 上のヘルミート・ヤン・ミルズ接続の断熱極限を解析し、織り繰りに沿った可約接続を許容する。
• ハイパーカイラー回転を用いてケーラー構造をASD接続設定に変換し、Instanton理論を用いた解析を可能にする。
• 小林＝ヒッチン対応を用いて、極限において安定な正則バンドルとヘリオト・ヤン・ミルズ接続を関連付ける。
• 接続 $A_{\epsilon_\nu}$ の曲率の減衰から導かれる平坦接続を備えた織り繰りの極限としてラグランジュ部分多様体 $L$ を構成する。
• 条件 $c_1 = 0$ と $a_i, b_i$ に関する恒等式を用いて、$L$ 上で正則体積形式の虚部が消えることを示し、$L$ が特別ラグランジュであることを証明する。
• 曲率の $L^\infty$ 評価と $F_{A_{\epsilon_\nu}}$ の指数的減衰を用いて、極限平坦接続 $\Phi ds + \Psi dt$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 織り繰りに沿った可約構造を持つヘルミート・ヤン・ミルズ接続は、$T^4$ 上の断熱極限においてどのように振る舞うか？
• RQ2 鏡像対称性の下で、正則バンドルの族の極限として特別ラグランジュ部分多様体を構成できるか？
• RQ3 大複素構造極限は、鏡像対称性を介してゲージ理論とシンプレクティック幾何学をどのように関連付けるか？
• RQ4 極限ラグランジュ多様体上の平坦接続は、ヘリオト・ヤン・ミルズ接続の曲率減衰からどのように生じるか？
• RQ5 ドストオグルー＝サラモンのASD接続に関する手法は、可約ヘリオト・ヤン・ミルズ接続へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 織り繰りに沿った可約構造を持つヘルミート・ヤン・ミルズ接続の極限は、ケーラー・トーラス $T^4$ 内の特別ラグランジュ部分多様体 $L$ に収束する。
• 条件 $c_1 = 0$ の下で、正則体積形式の虚部が $L$ 上で消えることから、$L$ が特別ラグランジュであることが証明される。
• 極限接続 $\Phi ds + \Psi dt$ は $L$ の滑らかな部分上で平坦であり、ASD方程式の $\epsilon_\nu \to 0$ 極限から生じる。
• 曲率 $\parallel F_{A_{\epsilon_\nu}} \parallel_{L^\infty}$ は $T_B^2 \setminus S$ 上で指数関数的にゼロに収束し、極限の平坦性を保証する。
• この構成は鏡像対称性のゲージ理論的実現を提供する：タイプB Dブレーン（安定バンドル）が大構造極限においてタイプA Dブレーン（特別ラグランジュ）に写される。
• この手法は非可約の場合にも適用可能であり、[5]の結果のより強い版を提供し、Ooguri-Vafa空間およびドナルドソン＝フローリング理論への応用を有する。