[論文レビュー] Fukaya category and Fourier transform

Dmitry Arinkin, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Nov 4, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、実トーリの族に対して $C^{\infty}$-版のフーリエ＝ムカイ変換を構成し、フォーカー型カテゴリ関連の局所系統を備えたラグランジュ部分多様体から、双対複素族上の正則ベクトル束への函手を定義する。主な結果として、正則束のドルベール複体と局所系統の修正されたド・ラーム複体との間に同型が確立され、楕円曲線におけるホモロジカルミラー対称性の概念的実現が得られる。

ABSTRACT

We construct a version of Fourier transform for families of real tori. This transform defines a functor from certain category associated with a symplectic family of tori to the category of holomorphic vector bundles on the dual family (the dual family has a natural complex structure). In the 1-dimensional case the former category is closely related to the Fukaya category.

研究の動機と目的

• シンプレクティックトーリスの導来フォーカー型カテゴリとその双対複素トーリス上のコherent層の導来カテゴリの間のホモロジカルミラー対称性同型の概念的で函手的な構成を提供すること。
• 古典的フーリエ変換をシンプレクティックファイブレーションを備えた実トーリの族へ一般化し、ラグランジュ部分多様体と局所系統の族と、双対族上の正則ベクトル束との間の対応を生じさせること。
• ラグランジュ部分多様体上の局所系統の修正ド・ラーム複体と、それに対応する正則ベクトル束のドルベール複体との間の準同型を確立し、ミラー対称性においてシンプレクティック幾何と複素幾何を結びつけること。
• アフィンラグランジュファイブレーションを備えた高次元シンプレクティックトーリスへこの構成を拡張し、高次元における一般ミラー対称性の基盤を築くこと。

提案手法

• 実トーリとその双対との積上に、フーリエ変換の核をなすピカード型バンドルを定義する。
• ファイブレーション構造と局所系統からの接続を組み合わせた、ラグランジュ部分多様体 $L$ における修正ド・ラーム複体を構成する。
• 双対ファイブレーション $M^\vee$ を用いて、底空間に自然な複素構造を導入し、$L$ の変換像が正則ベクトル束となるようにする。
• 被覆空間上のモノドロミーとコホモロジーの明示的解析を通じて、正則束のドルベール複体と局所系統の修正ド・ラーム複体との間の準同型を証明する。
• 双対トーリにおける被覆写像 $\tilde{L}_j$ の像に基づく三つのケースを分析する：ゼロ切断と交差しない、一点で交差する、非有界な挙動を示す。微分方程式の漸近的挙動を用いる。
• 接続をモデル化するための作用素 $\widehat{\frac{d}{dt}} = \frac{d}{dt} + at + b$ を用い、関数空間 $\hat{\mathcal{S}}(t_1,t_2)$ 内で解を分類し、コホモロジー同型を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーカー型カテゴリとその双対複素トーリス上のコherent層の導来カテゴリとの間の函手を、計算的検証に依存せずに構成する方法は何か？
• RQ2 ラグランジュ部分多様体上の局所系統のド・ラーム複体と、それに対応する正則ベクトル束のドルベール複体との間の正確な関係は何か？
• RQ3 楕円曲線の場合に、双対複素トーリス上のすべての正則ベクトル束が、ラグランジュ部分多様体と局所系統からのこの変換によって得られるか？
• RQ4 ラグランジュ部分多様体上の修正ド・ラーム複体は、フォーカー型カテゴリ内の準同型複体とどのように関係するか？
• RQ5 この構成を高次元ラグランジュファイブレーションへ拡張するには、閉1次微分形式に対するモース理論のどの一般化が必要か？

主な発見

• ラグランジュ部分多様体 $L$ においてファイバーと横断的に交わる局所系統の修正ド・ラーム複体は、フーリエ変換によって得られる正則ベクトル束のドルベール複体と準同型である。
• 楕円曲線の場合、双対複素トーリス上のすべての正則ベクトル束が、この変換によってあるラグランジュ部分多様体と局所系統の像として得られる。
• 複体 $\oplus_j \mathbf{DR}({\cal L})_j$ のコホモロジーは次数 0 に集中し、$H^0 \cong F^0$ であり、それより高い次数では消える。
• 双対トーリにおける $\tilde{L}_j$ の像がゼロ切断と交差しない場合、微分作用素 $d_j$ は全単射であり、コホモロジーが自明であることを示す。
• 像がゼロ切断と一点で交差する場合、$d_j$ の核はその点におけるバンドルのファイバーと同型であり、評価写像は全単射である。
• この構成により、修正ド・ラーム複体とフォーカー型カテゴリにおける $L$ と固定ラグランジュ部分多様体間の準同型複体との間に準同型が得られ、ホモロジカルミラー対称性への概念的リンクが得られる。