[論文レビュー] Convergence of random walks to Brownian motion in phylogenetic tree-space

Tom M. W. Nye|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Morphological variations and asymmetry被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ステップサイズを小さくし、ステップ数を増加させることで、Billera-Holmes-Vogtmannの木空間上のランダムウォークがブラウン運動に収束することを確立しており、系統樹空間上のパrametric分布を構築する実用的な近似を提供する。収束のおかげで、ランダムウォークの遷移核をブラウン運動分布の代理として統計的モデリングが可能になる。

ABSTRACT

The set of all phylogenetic (or evolutionary) trees for a fixed set of species forms a manifold-stratified geodesic metric space known as Billera-Holmes-Vogtmann tree-space. In order to analyse samples of phylogenetic trees it is desirable to construct parametric distributions on this space, but this task is very challenging. One way to construct such distributions is to consider particles undergoing Brownian motion in tree-space from a fixed starting point. The distribution of the particles after a given duration of time is analogous to a multivariate normal distribution in Euclidean space. Since these distributions cannot be worked with directly, we consider approximating them by suitably defined random walks in tree-space. We prove that as the number of steps tends to infinity and the step-size tends to zero, the distribution determined by the transition kernel of the random walk converges to that corresponding to Brownian motion. This result opens up the possibility of statistical modelling using distributions obtained from transition kernels of random walks and Brownian motion on tree-space. The methods developed here could be extended to establish similar results on other Euclidean complexes or manifold-stratified spaces.

研究の動機と目的

• 系統樹空間という複雑で多様体的構造を持つ空間上にパrametric確率分布を構築するための手法を開発すること。
• 系統樹空間上での直接的なブラウン運動分布の取り扱いの難しさ、すなわち解析的に扱いにくいという課題に対処すること。
• 系統樹空間上でのランダムウォークがブラウン運動の計算的に実行可能な近似として機能できることを確立すること。
• 系統樹空間におけるランダムウォークの遷移核から導かれる分布を用いた統計的推論の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ステップサイズを小さくしながら、測地線に 沿ってステップをとる方法で、Billera-Holmes-Vogtmannの木空間上にランダムウォークを定義する。
• 系統樹空間における繰り返し測地線移動の系列として、ランダムウォークの遷移核を構築する。
• ステップ数が無限大に近づき、ステップサイズが0に近づく極限におけるランダムウォークの分布の極限を分析する。
• 系統樹空間の幾何的性質、特に測地線距離空間としての構造を用いて収束を証明する。
• 測地線距離空間としての性質を活用し、確率過程の理論的手法を適用して、ランダムウォーク分布がブラウン運動分布に弱収束することを示す。
• 系統樹空間の分層的かつ非正曲率な構造を活用し、適切なスケーリングのもとで収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステップサイズを小さくし、ステップ数を多くした極限において、系統樹空間上でのランダムウォークはブラウン運動の分布を近似できるか？
• RQ2 系統樹空間上でのランダムウォークの分布がブラウン運動の分布に収束するための条件は何か？
• RQ3 ランダムウォークの遷移核は、系統樹空間上での統計的分布をどのようにモデリングできるか？
• RQ4 どの幾何的性質が、系統樹空間上でのランダムウォークがブラウン運動に収束することを可能にするか？

主な発見

• ステップ数を増やし、ステップサイズを小さくする極限において、系統樹空間上でのランダムウォークの分布は弱収束してブラウン運動の分布に近づく。
• 収束は、系統樹空間が非正曲率をもつ測地線距離空間としての幾何的構造のもとで成立する。
• ランダムウォークの遷移核は、スケーリング極限においてブラウン運動の遷移核を近似する。
• この結果は、系統樹空間上でのブラウン運動の直接シミュレーションに代わる実用的代替手段としてランダムウォークを用いる理論的根拠を提供する。
• 本手法は、類似した幾何的性質をもつ他のユークリッド複体や分層的多様体空間へ一般化可能である。