[論文レビュー] Convex Geometry of Orbits

Alexander Barvinok, Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Dec 12, 2003

Point processes and geometric inequalities参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoな群の軌道の解析のための凸幾何学的枠組みを構築し、このような軌道の極性体における最大体積の回転楕円体に注目する。対称TSPポリトープの内接球半径についてタイトな評価を与え、非負な同次多項式のコーンの体積の鋭い推定値を、表現論と球面上の濃縮現象を用いて得る。

ABSTRACT

We study metric properties of convex bodies B and their polars B^o, where B is the convex hull of an orbit under the action of a compact group G. Examples include the Traveling Salesman Polytope in polyhedral combinatorics (G=S_n, the symmetric group), the set of non-negative polynomials in real algebraic geometry (G=SO(n), the special orthogonal group), and the convex hull of the Grassmannian and the unit comass ball in the theory of calibrated geometries (G=SO(n), but with a different action). We compute the radius of the largest ball contained in the symmetric Traveling Salesman Polytope, give a reasonably tight estimate for the radius of the Euclidean ball containing the unit comass ball and review (sometimes with simpler and unified proofs) recent results on the structure of the set of non-negative polynomials (the radius of the inscribed ball, volume estimates, and relations to the sums of squares). Our main tool is a new simple description of the ellipsoid of the largest volume contained in B^o.

研究の動機と目的

• コンパクト群による作用の下での軌道の凸包として得られる凸体の幾何的性質を研究すること。
• 対称TSPポリトープに含まれる最大のユークリッド球の半径を計算すること。
• 非負な同次多項式の集合の内接球半径と体積についてタイトな推定値を与えること。
• 新しい楕円体特徴付けを用いて、既知の平方和と非負多項式に関する結果の証明を統一的かつ簡略化すること。
• 球面積分を用いて、高次元におけるランダム多項式の$L^\f$ノルムの鋭い境界を確立すること。

提案手法

• コンパクト群$G$による作用の下での軌道の凸包$B = \text{conv}(Gv)$の極性体$B^\bullet$を用いる。
• 群不変積分を用いた、$B^\bullet$内に含まれるジョン楕円体（最大体積楕円体）の新しい特徴付けを導入する。
• $SO(n)$の表現論を用いて、単位球面上の$x^{\bigotimes m}$の軌道を分析する。
• ホルダーの不等式とジェンセンの不等式を用いて、多項式の$L^\f$ノルムと球面積分を関連付ける。
• 球面上の濃縮現象を応用し、$U_{m,n}$に属するランダム多項式の平均$L^\f$ノルムを評価する。
• コロナリー3.2および補題3.5から導かれる恒等式$\|p\|_\infty \approx \|p\|_{2k}$（$k \sim n\ln(m+1)$）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称TSPポリトープ$ST_n$の内接球半径は何か？
• RQ2 Calibrated geometryにおけるユニットコマス球に含まれる最大のユークリッド球の半径はどの程度か？
• RQ3 高次元における非負同次多項式の集合とユニット球の体積比は何か？
• RQ4 平方和の集合は、非負多項式の全コーンと比べて体積的にどの程度か？
• RQ5 $L^2$ノルムが1である$n$変数の同次多項式の$L^\infty$ノルムの典型的な大きさは何か？

主な発見

• 対称TSPポリトープ$ST_n$に含まれる最大の球の半径は、ある絶対定数$\alpha > 0$に対して$\alpha \sqrt{n \ln n}$以上である。
• 単位$L^2$ノルムを持つ$n$変数の同次多項式のランダムなものの$L^\infty$ノルムは、高確率で$O\bigl(\sqrt{n \ln(m+1)}\bigr)$である。
• 体積比$\left(\operatorname{vol} Pos_{2k,n}^\prime / \operatorname{vol} K\right)^{1/d}$は、ある絶対定数$\alpha > 0$に対して$\alpha (n \ln(2k+1))^{-1/2}$以上である。ここで$d = \dim U_{2k,n}$である。
• 平方和の集合の体積比は、$\left(\operatorname{vol} Sq_{2k,n}^\prime / \operatorname{vol} K\right)^{1/d} \leq \alpha \, 2^{4k} \binom{n+k-1}{k}^{1/2} \binom{n+2k-1}{2k}^{-1/2}$を満たし、固定された$k$に対して$n^{-k/2}$のオーダーで減少する。
• $U_{m,n}$の単位ベクトルの平均$L^\infty$ノルムは、$\alpha \sqrt{n \ln(m+1)}$で抑えられ、ここで$\alpha$は絶対定数である。
• 体積下界の証明は、ホルダーとジェンセンの不等式から導かれる不等式$\left(\int_{\Sigma_{2k,n}} \|p\|_\infty^{-d} dp\right)^{1/d} \geq \left(\int_{\Sigma_{2k,n}} \|p\|_\infty dp\right)^{-1}$に依拠する。