[論文レビュー] Convolutions on compact groups and Fourier algebras of coset spaces

Brian Forrest, Ebrahim Samei+1 more|ArXiv.org|May 29, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンパクト群およびその同相空間のフーリエ代数上の畳み込み写像を調査し、A(G)の新たな部分代数A_γ(G)およびA_Δ(G)を特定する。Gの単位元成分がアーベルであるとき、A(G/K)はハイパータウバリアン（従って弱アーベル的）であるが、Gが非アーベルな連結コンパクト部分群をもつ場合、A(G/K)は作用素的弱アーベル的でない。主な貢献は、群のクラスにおいて、作用素的アーベル性の特徴づけを、洗練されたスペクトル的合成技術を用いて行ったことである。

ABSTRACT

In this note we study two related questions. (1) For a compact group G, what are the ranges of the convolution maps on A(GXG) given for u,v in A(G) by $u X v |-> u*v' ($v'(s)=v(s^{-1})$) and $u X v |-> u*v$? (2) For a locally compact group G and a compact subgroup K, what are the amenability properties of the Fourier algebra of the coset space A(G/K)? The algebra A(G/K) was defined and studied by the first named author. In answering the first question, we obtain for compact groups which do not admit an abelian subgroup of finite index, some new subalgebras of A(G). Using those algebras we can find many instances in which A(G/K) fails the most rudimentary amenability property: operator weak amenability. However, using different techniques, we show that if the connected component of the identity of G is abelian, then A(G/K) always satisfies the stronger property that it is hyper-Tauberian, which is a concept developed by the second named author. We also establish a criterion which characterises operator amenability of A(G/K) for a class of groups which includes the maximally almost periodic groups.

研究の動機と目的

• コンパクト群Gに対してA(G×G)上の畳み込み写像の像を特定すること、特にu×v ↦ u⁎v̌およびu×v ↦ u⁎vについて。
• 局所コンパクトGおよびコンパクトKに対して、同相空間G/Kのフーリエ代数A(G/K)のアーベル性の性質を分析すること。
• A(G)の新たな部分代数、例えばA_γ(G)およびA_Δ(G)を特定し、それらがスペクトル的合成およびアーベル性における役割を理解すること。
• Gの連結成分がアーベルまたは非アーベルである場合に、A(G/K)がハイパータウバリアンまたは作用素的にアーベル的である条件を確立すること。
• スペクトル的合成を研究するための洗練された技術を開発し、合成集合および非合成集合の新たな例を導出すること。

提案手法

• 著者たちは、等長埋め込みM̌および商写像P̌を用いて、A(G×G) → A_Δ(G)およびA(G×G) → A_γ(G)を定義する写像Γ̌を介して畳み込み写像を定義する。
• 彼らはコンパクト群上の調和解析を用い、Gの既約ユニタリ表現π ∈ Ĝによる関数の分解を行い、行列係数を計算することで、A(G×G)におけるノルムとA_γ(G)におけるノルムとの関係を確立する。
• 重要な恒等式は、f ∈ ran(Γ̌)であるための必要十分条件が、∑_π∈Ĝ d_π² ||f̂(π)||₁ < ∞であることであり、これはA_γ(G)を特徴付ける。
• 彼らはA_Δ(G) ⊂ A_γ(G) ⊂ A(G)を証明し、A_γ(G) = A(G)が成り立つのはGが有限指数のアーベル部分群をもつとき、かつそのときに限ることを示す。
• A(G/K)における作用素的空間構造を用いて、ハイパータウバリアン性および作用素的アーベル性の基準を用いてアーベル性を分析する。
• スペクトル的合成の技術を応用し、G×Gの閉コセット環に属さないA(G×G)における新たな局所合成集合を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群Gに対して、A(G×G)上の畳み込み写像u×v ↦ u⁎v̌およびu×v ↦ u⁎vの像は何か？
• RQ2 同相空間G/Kのフーリエ代数A(G/K)が作用素的にアーベル的または作用素的に弱アーベル的であるのはいつか？
• RQ3 A_γ(G)やA_Δ(G)のような部分代数は、スペクトル的合成およびA(G)の構造とどのように関係するか？
• RQ4 Gにどのような条件下でA(G/K)がハイパータウバリアンとなり、これはGの単位元の連結成分とどのように関係するか？
• RQ5 畳み込みおよび表現論的技術を用いて、A(G×G)に新たな合成集合または非合成集合をどのように構成できるか？

主な発見

• 写像u×v ↦ u⁎v̌の像は、A_γ(G)に等長同型であり、この代数はGが有限指数のアーベル部分群をもつとき、かつそのときに限りA(G)と一致する。
• 写像u×v ↦ u⁎vの像は、A_γ(G)に等長同型であり、ジョンソンの先行結果を確認するとともに、作用体空間の設定にまで拡張する。
• Gがコンパクトで非アーベルな連結部分群をもつ場合、あるG×Gのコンパクト部分群K*に対して、A(G/K)は作用素的に弱アーベル的でない。
• Gの単位元の連結成分がアーベルであるとき、A(G/K)はハイパータウバリアンであり、これは弱アーベル性を示唆する。
• MAP K-群のクラスに対して、本論文はA(G/K)が作用素的にアーベル的である条件を、群論的性質および作用体空間的性質に基づいて特徴づける。
• 著者たちは、Gの連結成分がアーベルである場合に、G×Gの閉コセット環に属さないA(G×G)における新たな局所合成集合を構成する。