[論文レビュー] Cooling and Low Energy State Preparation for 3-local Hamiltonians are FQMA-complete

Dominik Janzing, Paweł Wocjan+1 more|ArXiv.org|Mar 31, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、QMA問題のための量子ウィtness状態の準備を要する複雑性クラスFQMAを導入する。3局所ハミルトニアンの低エネルギー状態の準備がFQMA完全であることを証明し、このような状態準備がFQMAに属するあらゆる問題を解くのと同程度に難しいことを示し、系のサイズに反比例するように減少する温度における熱平衡状態を用いて実現可能であることを示している。

ABSTRACT

We introduce the quantum complexity class FQMA. This class describes the complexity of generating a quantum state that serves as a witness for a given QMA problem. In a certain sense, FQMA is the quantum analogue of FNP (function problems associated with NP). The latter describes the complexity of finding a succinct proof for a NP decision problem. Whereas all FNP problems can be reduced to NP, there is no obvious reduction of FQMA to QMA since the solution of FQMA is a quantum state and the solution of QMA the answer yes or no. We consider quantum state generators that get classical descriptions of 3-local Hamiltonians on n qubits as input and prepare low energy states for these systems as output. We show that such state generators can be used to prepare witnesses for QMA problems. Hence low energy state preparation is FQMA-complete. Our proofs are extensions of the proofs by Kitaev et al. and Kempe and Regev for the QMA-completeness of k-local Hamiltonian problems. We show that FQMA can be solved by preparing thermal equilibrium states with an appropriate temperature decreasing as the reciprocal of a polynomial in n.

研究の動機と目的

• QMA問題のための量子ウィtness状態の準備の複雑性に焦点を当て、FNPの量子版であるFQMAという量子複雑性クラスを定義・形式化すること。
• 3局所ハミルトニアンの低エネルギー状態の準備問題がFQMA完全であることを確立し、FQMAの全複雑性を捉える物理的に直感的な問題を同定すること。
• このような状態準備が、系のサイズの多項式の逆数として減少する温度における熱平衡状態を用いて実現可能であることを示すこと。
• QMA（決定問題）とFQMA（状態準備）の違いを明確にすること、特に、ウィtnessの量子性ゆえにFQMAからQMAへの自明な還元が存在しないことの強調。

提案手法

• FQMAを、QMA意思決定問題のためのウィtnessとして機能する量子状態の準備を要する問題のクラスとして定義し、古典的複雑性におけるFNPに類似させる。
• 3局所ハミルトニアンの低エネルギー状態準備問題を定義し、目標はしきい値 $ d_n $ より低いエネルギーを持つ状態を準備することであり、これは基底状態エネルギー $ g_n $ に近い。
• ギブス集合の形式を用いて、$ \rho = \sum_j p_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $ で表される熱平衡状態をモデル化し、$ p_j \propto e^{-E_j/(KT)} $ とすることで、温度 $ T $ における系の平均エネルギーを分析する。
• ウィtnessが存在する場合に、ギブス状態の平均エネルギーが $ d_n $ 未満になるような温度 $ T_n $ の上限を導出する。不等式 $ T_n < \frac{1}{K \tilde{q}(n)} $ を用い、ここで $ \tilde{q}(n) $ は $ n $ に関する多項式である。
• QMA問題の受理ギャップが $ \epsilon $ である場合、温度 $ T_n < \frac{1-2\epsilon}{4\ln 2 K(L+1)n} $ が十分であり、エネルギー測定によってウィtnessの有無を識別可能であることを示す。
• 必要な温度が系のサイズ $ n $ の多項式の逆数として減少することを示し、FQMA問題を解くために冷却機構が物理的に現実的であることを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3局所ハミルトニアンの低エネルギー状態の準備問題は、新たに定義された量子複雑性クラスFQMAにおいて完全であるか？
• RQ2 多項式的減少する温度における熱平衡状態を用いてFQMA問題を解くことは可能か？ その場合の温度スケーリングはどのようになるか？
• RQ3 FQMAからQMAへの自明な還元がないのはなぜか？ また、量子ウィtness状態の性質は、FNPにおける古典的証明とどのように異なるのか？
• RQ4 基底状態と第一励起状態とのエネルギーギャップは、FQMAにおけるyes/noインスタンスを区別するのに必要な温度にどのように影響するか？
• RQ5 系サイズの多項式の逆数として減少する温度に冷却することは、量子計算問題を解く上で物理的にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 3局所ハミルトニアンの低エネルギー状態の準備問題はFQMA完全であることが示され、FQMAクラスにおける代表的な難問として確立された。
• ウィtnessが存在する場合に、$ T_n < \frac{1}{K \tilde{q}(n)} $ で表される温度（$ \tilde{q}(n) $ は $ n $ に関する多項式）における熱平衡状態が、しきい値 $ d_n $ より低いエネルギーを持つ状態を準備するのに十分である。
• QMA問題の受理ギャップが $ \epsilon $ である場合、温度 $ T_n < \frac{1-2\epsilon}{4\ln 2 K(L+1)n} $ が十分であり、ウィtnessが存在する場合にギブス状態の平均エネルギーが $ \frac{1}{2(L+1)} $ 未満になることが保証され、yes/noインスタンスを効率的に区別可能である。
• 必要な温度スケーリングは系のサイズ $ n $ に対して多項式的減少であり、指数的冷却とは異なり、冷却機構が原理的に物理的に実現可能である。
• 平均エネルギーが $ d_n $ よりも漸近的に小さくなるのは、$ (d-a)/(2KT) > n\ln 2 $ のときであり、これは多項式的減少する $ T $ で達成可能である。これにより、ウィtnessが存在する場合に低エネルギー状態が得られることを保証する。
• この結果により、このような低温に冷却することは、任意のFQMA問題を解くのに十分であり、低エネルギー状態の準備問題がFQMAの全複雑性を捉えていることが示された。