[論文レビュー] Cost-Function-Dependent Barren Plateaus in Shallow Quantum Neural Networks.

M. Cerezo, Akira Sone+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、浅い量子ニューラルネットワークにおける学習可能性にコスト関数の選択が顕著に影響することを証明している：グローバルな観測量は指数関数的に消える勾配（バーレンプレート）を引き起こすが、ローカルな観測量は回路の深さが O(log n) の場合、勾配の消失が多項式的におさまる。これにより、変分量子アルゴリズムにおける局所性と学習可能性の直接的な関連が確立される。

ABSTRACT

Variational quantum algorithms (VQAs) optimize the parameters $\boldsymbol{ heta}$ of a quantum neural network $V(\boldsymbol{ heta})$ to minimize a cost function $C$. While VQAs may enable practical applications of noisy quantum computers, they are nevertheless heuristic methods with unproven scaling. Here, we rigorously prove two results, assuming $V(\boldsymbol{ heta})$ is a hardware-efficient ansatz composed of blocks forming local 2-designs. Our first result states that defining $C$ in terms of global observables leads to an exponentially vanishing gradient (i.e., a barren plateau) even when $V(\boldsymbol{ heta})$ is shallow. This implies that several VQAs in the literature must revise their proposed cost functions. On the other hand, our second result states that defining $C$ with local observables leads to at worst a polynomially vanishing gradient, so long as the depth of $V(\boldsymbol{ heta})$ is $\mathcal{O}(\log n)$. Taken together, our results establish a connection between locality and trainability. Finally, we illustrate these ideas with large-scale simulations, up to 100 qubits, of a particular VQA known as quantum autoencoders.

研究の動機と目的

• 異なるコスト関数の選択下での浅い変分量子アルゴリズム（VQA）における勾配挙動を厳密に分析すること。
• 局所的2-デザインから構成されるハードウェア効率的アーキテクチャにおいて、バーレンプレートが発生する条件を特定すること。
• コスト関数における観測量の局所性と勾配のスケーリングの間の理論的関連を確立すること。
• 局所的観測量が浅い回路ですら勾配の大きさを維持することを証明することで、学習可能なVQAの設計を支援すること。

提案手法

• ランダム行列理論と局所的2-デザインの性質を用いたVQAにおける勾配分散の理論的分析。
• グローバル観測量とローカル観測量の2種類のコスト関数タイプにおける勾配スケーリング挙動の導出。
• 実際の量子回路をモデル化するため、局所的2-デザインを形成するブロックからなるハードウェア効率的アーキテクチャを仮定する。
• グローバル観測量が回路の深さにかかわらず指数関数的に消える勾配をもたらすことを証明する。
• 回路の深さが O(log n) の場合、ローカル観測量が多項式的におさまる勾配の消失にとどまることを証明する。
• 理論的予測を検証するため、最大100キュービットの量子オートエンコーダーを用いた大規模シミュレーション。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 浅いVQAにおけるコスト関数の選択が、指数関数的に消える勾配（バーレンプレート）を引き起こすか？
• RQ2 コスト関数にローカル観測量を用いることで、浅い量子回路におけるバーレンプレートを回避できるか？
• RQ3 ローカル観測量とグローバル観測量を用いた場合、回路の深さと勾配スケーリングの関係はいかなるものか？
• RQ4 アーキテクチャの構造（特に局所的2-デザイン）が、VQAにおける勾配挙動にどのように影響するか？
• RQ5 大規模シミュレーションは、勾配スケーリングに関する理論的予測をどの程度確認できるか？

主な発見

• グローバル観測量をコスト関数に用いることで、浅い回路であっても指数関数的に消える勾配が生じ、バーレンプレートが発生する。
• コスト関数にローカル観測量を用いる場合、回路の深さが O(log n) であれば、勾配の消失は多項式的におさまる。
• 理論的分析により、コスト関数における局所性が、浅いVQAにおける学習可能な勾配を維持するために不可欠であることが証明された。
• この結果は、グローバル観測量を用いる既存のいくつかのVQAが、バーレンプレートを回避するためコスト関数の再考を迫られていることを示唆する。
• 最大100キュービットの量子オートエンコーダーを用いた大規模シミュレーションにより、勾配スケーリングに関する理論的予測が確認された。