[論文レビュー] Cotangent Bundles with General Natural Kahler Structures

Druta, S. L.|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体 $(M,g)$ の余接 bundle $T^*M$ におけるKähler構造について、計量およびほぼ複素構造の一般自然上昇を用いて検討する。ほぼヘルミート構造 $(G,J)$ がKähler的であるための必要十分条件を導出し、このような構造が存在するのは、ほぼ複素構造 $J$ が積分可能（$M$ が一定の断面曲率を持つことを要請）であり、かつヘルミート計量 $G$ が $ olinebreak tfrac{\mu = \lambda'}$ を満たす場合に限ることを示す。このKähler構造の族は、$a_1$、$a_3$、および $ olinebreak tfrac{\lambda}$ の3つの本質的パラメータに依存し、$b_1$ は $a_1$ とその微分により決定される。

ABSTRACT

We study the conditions under which an almost Hermitian structure $(G,J)$ of general natural lift type on the cotangent bundle $T^*M$ of a Riemannian manifold $(M,g)$ is K\" ahlerian. First, we obtain the algebraic conditions under which the manifold $(T^*M,G,J)$ is almost Hermitian. Next we get the integrability conditions for the almost complex structure $J$, then the conditions under which the associated 2-form is closed. The manifold $(T^*M,G,J)$ is K\" ahlerian iff it is almost Kahlerian and the almost complex structure $J$ is integrable. It follows that the family of Kahlerian structures of above type on $T^*M$ depends on three essential parameters (one is a certain proportionality factor, the other two are parameters involved in the definition of $J$).

研究の動機と目的

• 余接 bundle $T^*M$ 上の一般自然上昇型ほぼヘルミート構造 $(G,J)$ がKähler的であるための条件を同定すること。
• Kähler条件を満たすために、計量 $G$ およびほぼ複素構造 $J$ の係数に課される代数的および微分的制約を特定すること。
• Kähler構造が、基底多様体 $M$ が一定の断面曲率を持つ場合にのみ出現し、かつ $G$ と $J$ のパラメータが特定の比例および微分条件を満たす場合に限ることを示すこと。
• Kähler構造における本質的パラメータの数を3つに削減すること：$a_1$、$a_3$、および $\lambda$、ただし $b_1$ は $a_1$ とその微分により決定される。

提案手法

• 基底多様体 $M$ 上のリーマン計量 $g$ の一般自然上昇として、$T^*M$ 上にほぼ複素構造 $J$ を構成し、8個の係数でパrameter化するが、代数的関係により4つを削減する。
• Nijenhuisテンソルの計算により $J$ の積分可能性条件を導出し、積分可能性が $M$ が一定の断面曲率を持つことを要請することを示す。
• 計量 $g$ の一般自然上昇として $T^*M$ 上にリーマン計量 $G$ を定義し、$c_1, c_2, c_3, d_1, d_2, d_3$ の係数が、比例係数 $\lambda$ および $\lambda + 2t\mu$ を介して $J$ の係数と関連づけられる。
• ヘルミート条件 $G(JX, JY) = G(X,Y)$ を課し、$G$ と $J$ の係数を結ぶ方程式系を導出する。
• Mathematica のリッチテンソル計算パッケージを用いて、Kähler形式 $\Omega(X,Y) = G(X, JY)$ の外微分を計算し、$d\Omega = 0$ を満たすための条件として $\mu = \lambda'$ を得る。
• $J$ の積分可能性と $\Omega$ の閉形式性を統合し、$T^*M$ 上の3パラメータ族のKähler構造が得られることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般自然上昇型ほぼヘルミート構造 $(G,J)$ が $T^*M$ 上でKähler的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 ほぼ複素構造 $J$ が積分可能であるために、計量 $G$ およびほぼ複素構造 $J$ の係数に課される制約は何か？
• RQ3 Kähler形式 $\Omega$ が閉じるためのパラメータ $\lambda$ と $\mu$ の正確な条件は何か？
• RQ4 余接 bundle $T^*M$ 上のKähler構造族を支配する本質的パラメータはいくつあるか？
• RQ5 基底多様体の曲率がこのようなKähler構造の存在に果たす役割は何か？

主な発見

• ほぼ複素構造 $J$ が積分可能であることは、基底多様体 $M$ が一定の断面曲率を持つことと同値である。
• Kähler条件が成立するのは、$\mu = \lambda'$ のときであり、かつそのときに限る。ここで $\lambda$ は計量と複素構造係数間の比例係数であり、$\mu$ は計量上昇における微分関連パラメータである。
• 余接 bundle $T^*M$ 上のKähler構造族は、本質的に3つのパラメータ $a_1$、$a_3$、および $\lambda$ に依存し、$b_1$ は $a_1$ とその微分により $b_1 = \frac{1}{2}(a_1' - \frac{a_1}{a_1})$ で与えられる。
• $G$ の上昇係数 $d_1, d_2, d_3$ は $d_i = \lambda b_i + \mu(a_i + 2t b_i)$ で与えられ、計量と複素構造パラメータを結びつける。
• Kähler形式 $\Omega$ は $\Omega = (\lambda \delta^i_j + \mu g^{0i} p_j) Dp_i \wedge dq^j$ と表現され、その閉形式性は $\mu = \lambda'$ と同値である。
• 本研究の結果は、[12]、[13]、[16] の既存の構成を一般化し、$a_3 = 0$ かつ $\lambda = 1$、$\mu = 0$ の場合にそれらを特別な場合として回復する。