[論文レビュー] Counting and Locating the Solutions of Polynomial Systems of Maximum Likelihood Equations, II: The Behrens-Fisher Problem

Max-Louis G. Buot, Serkan Hoşten+1 more|ArXiv.org|Sep 6, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

この論文は代数幾何学を多変量 Behrens-Fisher 問題に適用し、標本サイズ $N_1, N_2 > p$ の場合、尤度方程式がほとんど確実に正確に $2p+1$ 個の複素解を持つことを証明する。さらに、実解は通常一意的であり、複数の実解が発生するのは非常にまれであることが示され、特に標本サイズが大きくなるとその頻度は著しく低下する。

ABSTRACT

Let $μ$ be a $p$-dimensional vector, and let $Σ_1$ and $Σ_2$ be $p imes p$ positive definite covariance matrices. On being given random samples of sizes $N_1$ and $N_2$ from independent multivariate normal populations $N_p(μ,Σ_1)$ and $N_p(μ,Σ_2)$, respectively, the Behrens-Fisher problem is to solve the likelihood equations for estimating the unknown parameters $μ$, $Σ_1$, and $Σ_2$. We shall prove that for $N_1, N_2 > p$ there are, almost surely, exactly $2p+1$ complex solutions of the likelihood equations. For the case in which $p = 2$, we utilize Monte Carlo simulation to estimate the relative frequency with which a typical Behrens-Fisher problem has multiple real solutions; we find that multiple real solutions occur infrequently.

研究の動機と目的

• 代数幾何学を用いて、多変量 Behrens-Fisher 問題における尤度方程式の複素解および実解の数を特定すること。
• モンテカルロシミュレーションを用いて、二変量ケース（$p=2$）における複数の実解の発生頻度を調査すること。
• 標本サイズ $N_1, N_2 \to \infty$ の下での実解の一意性の漸近的性質を確立すること。
• 単変量における解の数および重複度に関する結果を、多変量設定に拡張すること。

提案手法

• 代数幾何学のベズーの定理を適用し、尤度方程式によって形成される多項式系の複素解の数を数える。
• 最大尤度次数の概念を用いて、尤度方程式の解構造を分析する。
• 逆共分散行列を除去することで、$\mu$, $\Sigma_1$, および $\Sigma_2$ に関する多項式方程式系に尤度方程式を変換する。
• 局所環論および初期イデアルを用いて、帰無仮説下での $\widehat{\mu} = 0$ における解の重複度を計算する。
• $N_2(\mu, \Sigma_1)$ および $N_2(\mu, \Sigma_2)$ からのランダム標本を用いたモンテカルロシミュレーションを実施し、複数の実解の発生頻度を推定する。
• 大数の法則および解の連続性を活用し、$N_1, N_2 \to \infty$ のとき、一意の実解がほとんど確実に出現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標本サイズ $N_1, N_2 > p$ の場合、多変量 Behrens-Fisher 問題における尤度方程式に複素解はいくつ存在するか？
• RQ2 二変量ケース（$p=2$）における実解の典型的な数は何か？ また、複数の実解がどの程度の頻度で発生するか？
• RQ3 標本サイズが増加するにつれて、実解の数は1に収束するか？
• RQ4 帰無仮説下での $\widehat{\mu} = 0$ における解の重複度は何か？ また、これは解の一意性にどのように影響するか？
• RQ5 尤度方程式の解構造は、最大尤度次数および代数幾何学的ツール（例えばベズーの定理）とどのように関係しているか？

主な発見

• 標本サイズ $N_1, N_2 > p$ の場合、尤度方程式系はほとんど確実に正確に $2p+1$ 個の複素解を持つ。
• 二変量ケース（$p=2$）において、モンテカルロシミュレーションの結果、5つの実解（最大可能数）は、小標本または大標本のいずれのシナリオでも1,000回以上のシミュレーションで一度も観測されなかった。
• 複数の実解は非常にまれであることが判明した。すべてのシミュレーションにおいて、実解の数は1つまたは3つであり、1つが支配的であった。
• 標本サイズ $N_1, N_2 \to \infty$ のとき、尤度方程式は確率1で一意の実解を持つ。
• 帰無仮説下での $\widehat{\mu} = 0$ における解の重複度は1であり、非退化性が確認され、一意性を支持する。
• 尤度方程式は原則としてマルチモーダルであるが、大標本ではグローバル最大値がほとんど確実に一意的であり、数値的アルゴリズムがグローバル解に収束する確率が非常に高いことが示唆される。