[論文レビュー] Crack initiation in elastic bodies

Antonin Chambolle, Alessandro Giacomini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、グリフィス型エネルギーに従う超弾性体において、強い特異性（例：均質的等方的材料）を有しない材料では、裂傷の始発が途切れなく発生する（すなわち、正の時刻の後に急激に大きな亀列が形成される）ことを確立している。これに対して、強い特異性を持つ点では、初速度がゼロで時刻 t = 0 に直ちに亀列が発生する。この結果は、有限個の成分を有するすべての閉じた1次元亀列に対して成り立ち、ボリュームエネルギー項と表面エネルギー項を含む自由不連続エネルギー汎関数に対する局所的最小性原理に基づく。

ABSTRACT

In this paper we study the crack initiation in a hyper-elastic body governed by a Griffith's type energy. We prove that, during a load process through a time dependent boundary datum of the type $t o t g(x)$ and in absence of strong singularities (this is the case of homogeneous isotropic materials) the crack initiation is brutal, i.e., a big crack appears after a positive time $t_i>0$. On the contrary, in presence of a point $x$ of strong singularity, a crack will depart from $x$ at the initial time of loading and with zero velocity. We prove these facts (largely expected by the experts of material science) for admissible cracks belonging to the large class of closed one dimensional sets with a finite number of connected components. The main tool we employ to address the problem is a local minimality result for the functional $$ \Es(u,Γ):=\int_\Om f(x, abla v) dx+k\hu(Γ), $$ where $Ω\subseteq \R^2$, $k>0$ and $f$ is a suitable Carathéodory function. We prove that if the uncracked configuration $u$ of $\Om$ relative to a boundary displacement $ψ$ has uniformly weak singularities, then configurations $(u_Γ,Γ)$ with $\hu(Γ)$ small enough are such that $\Es(u,\emptyset)

研究の動機と目的

• 時間依存的荷重下における弾性体の亀列始発を、変分的枠組みを用いて厳密に分析すること。
• 事前に存在する亀列がない状況において、亀列始発が徐々に発生するか、それとも急激に発生するかという長年の問題を解消すること。
• 事前に亀列がない状況において、古典的グリフィン基準が始発を予測できないことを確立すること。
• 弱い特異性（例：均質的等方的材料）がある場合、亀列始発が急激に発生する（すなわち、正の時刻後）ことを証明すること。
• フランコール＝マリゴの変分モデルを、一般の許容可能な亀列のクラスに含まれる途切れのある亀列始発を含む形に拡張すること。

提案手法

• ボリューム弾性エネルギーと亀列 $ \Gamma $ の表面エネルギーを組み合わせたエネルギー汎関数 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) = \int_\Omega f(x,\nabla u)\,dx + k\mathcal{H}^1(\Gamma) $ の形式化。
• 弱い特異性がある場合に、$ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ の局所的最小性結果を用いて、小さな亀列が全エネルギーを増加させることを示す。
• 高さ関数が一様に有界かつリプシッツ連続であるような領域において、一様なポンカラーレおよびポンカラーレ＝コーヌ不等式の適用。
• 背理法による証明：小さな亀列に対するエネルギー減少を仮定すると、$ H^1 $ における弱収束とコンパクトネスを用いて矛盾が生じる。
• 縦方向以外の複数方向への直線に沿った積分を用いて、変位勾配のすべての成分を制御する。
• 閉じた集合としての許容可能な亀列のクラスのコンパクトネスを活用し、一様な推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間依存的荷重下で、事前に亀列がない状況において、弾性体の亀列始発は徐々に発生するか、それとも急激に発生するか？
• RQ2 事前に亀列がない状況において、古典的グリフィン基準は亀列始発を予測できるか？
• RQ3 材料の特異性（特に強い特異性と弱い特異性）は、亀列始発のタイミングと性質にどのような役割を果たすか？
• RQ4 フランコール＝マリゴの変分モデルは、事前に亀列の経路を仮定しない状況でも、途切れのある亀列始発を捉えることができるか？
• RQ5 エネルギー汎関数 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ が、小さな亀列に対して、無亀列状態で局所的に最小化される条件は何か？

主な発見

• 均質的等方的材料では、亀列始発は途切れなく発生する：大きな亀列が正の時刻 $ t_i > 0 $ の後に急激に出現する。
• 弱い特異性（例：均質材料）では、有限個の成分を有するすべての小さな亀列に対して、エネルギー汎関数 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ は無亀列状態で最小化される。
• これに対して、強い特異性を持つ点では、初速度ゼロで時刻 $ t = 0 $ に直ちに亀列が発生する。
• この結果は、有限個の連結成分を有するすべての閉じた1次元集合 $ \Gamma $ に対して成り立ち、滑らかさや事前定義された経路を仮定しない。
• この証明は、一様に有界かつリプシッツ連続な高さ関数を有する領域の族に対して、一様なポンカラーレおよびポンカラーレ＝コーヌ不等式に依拠している。
• $ l_0 = 0 $ の場合に古典的グリフィン基準が示すエネルギー減少はゼロであることが示され、その基準が始発予測に使用できないことが立証された。