[論文レビュー] Crooked surfaces and anti-de Sitter geometry

William M. Goldman|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、3次元の反ド・ジッター（AdS）空間における曲がった平面と、アインシュタイン宇宙における曲がった曲面の間の幾何的対応関係を確立し、AdSの曲がった平面がAdSの二重被覆下で$I_{\text{S}}$-適応曲がった曲面に引き上げられることを示している。主な結果は、これらの引き上げられた曲面がAdS空間を定義する共形的反転写像に関して不変であることであり、これによりアインシュタイン宇宙のコンパクト化を用いたローレンツ的クライン群の基本領域の構成が可能になる。

ABSTRACT

Crooked planes were defined by Drumm to bound fundamental polyhedra in Minkowski space for Margulis spacetimes. They were extended by Frances to closed polyhedral surfaces in the conformal compactification of Minkowski space (Einstein space) which we call crooked surfaces. The conformal model of anti-de Sitter space is the interior of the quotient of Einstein space by an involution fixing an Einstein plane. The purpose of this note is to show that the crooked planes defined in anti-de Sitter space recently by Danciger-Guéritaud-Kassel lift to restrictions of crooked surfaces in Einstein space which are adapted under the involution of Einstein space defining anti-de Sitter space.

研究の動機と目的

• 反ド・ジッター空間における曲がった平面と、ミンコフスキー空間（アインシュタイン宇宙）の共形的コンパクト化における曲がった曲面の間の幾何的関係を明確化すること。
• ダンシガー＝ギエリオー＝カッセルが導入したAdS曲がった平面が、反ド・ジッター空間を定義する反転写像と整合するアインシュタイン宇宙における曲がった曲面に引き上げられることを示すこと。
• これらの引き上げられた曲面が$I_{\text{S}}$-適応的であること、つまり反転写像に関して不変であり、基本領域の構造を保つことの証明。
• 曲がった曲面の理論を反ド・ジッター幾何の文脈へと拡張し、AdS³における離散群作用への応用を可能にすること。
• マーガリス時空、AdS多様体、およびローレンツ的クライン群を、曲がった曲面の幾何を通じて統一的枠組みで結びつけること。

提案手法

• 点$p \to \text{AdS}^3$をその二重被覆$\.\tilde{\text{AdS}}^3$における二つの逆像$\.\tilde{p}, -\tilde{p}$に引き上げる。
• 指数写像を用いて、点$p$におけるAdS曲がった平面の接錐を、接空間$T_p(\text{AdS}^3) \to \text{E}^3$における曲がった平面と同一視する。
• 順序付き四点組$p_0, p_\flat, p_1, p_2$が接続および非接続条件を満たすように、アインシュタイン宇宙$\text{Ein}^3$内に曲がった曲面$\frak{C}(p_0, p_\flat, p_1, p_2)$を構成する。
• $I_{\text{S}}$-適応条件を課す：反転写像$I_{\text{S}}$が$p_1, p_2$を固定し、$p_0, p_\flat$を入れ替えることで、AdSの二重被覆と整合性を保つ。
• アインシュタイン宇宙$\text{Ein}^3$上に作用する共形的反転写像$I_{\text{S}}$を適用し、その固定集合が2次元球面$\text{Ein}^2$であることを示し、これにより$\tilde{\text{AdS}}^3 \to \text{AdS}^3$のデック変換が実現される。
• 引き上げられた曲がった曲面の像が$\tilde{\text{AdS}}^3$内にあり、元のAdS曲がった平面に射影され、その構造が保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元反ド・ジッター空間における曲がった平面と、アインシュタイン宇宙における曲がった曲面の関係は何か？
• RQ2 ダンシガー＝ギエリオー＝カッセルが導入したAdS曲がった平面は、反ド・ジッター空間を定義する共形的反転写像と整合するアインシュタイン宇宙内の曲面に引き上げられるか？
• RQ3 アインシュタイン宇宙内の曲がった曲面が、AdS³の二重被覆を誘導する反転写像に関して不変であるための条件は何か？
• RQ4 $I_{\text{S}}$-適応的条件が、反ド・ジッター多様体内の基本領域の幾何とどのように関係しているか？
• RQ5 アインシュタイン宇宙における曲がった曲面の理論を用いて、$\text{Ein}^3$上で作用するローレンツ的クライン群の基本領域を構成できるか？

主な発見

• 点$p$におけるAdS曲がった平面の接錐は、接空間$T_p(\text{AdS}^3) \to \text{E}^3$における曲がった平面と等長である。
• AdS曲がった平面$\text{C}(p, \textbf{s})$は、接平面の指数写像による像として与えられる：$\text{C}(p, \textbf{s}) = \text{Exp}_p(\text{C}(0_p, \textbf{s}))$。
• AdS曲がった平面$\text{C}(p, \textbf{s})$の逆像は、二重被覆$\tilde{\text{AdS}}^3 \to \text{AdS}^3$において、アインシュタイン宇宙$\text{Ein}^3$内の曲がった曲面$\frak{C}(p, \textbf{s})$の閉包に引き上げられる。
• 引き上げられた曲がった曲面は$I_{\text{S}}$-適応的である：反転写像$I_{\text{S}}$は2つの光的点$p_1, p_2$を固定し、頂点と無限遠点$p_0, p_\flat$を入れ替える。
• この$I_{\text{S}}$-適応的構造により、デック変換による商空間において、曲面が適切に定義された基本領域に下降することが保証される。
• この構成により、ミンコフスキー空間におけるマーガリス時空の理論と、アインシュタイン宇宙におけるローレンツ的クライン群の理論との間の幾何的ブリッジが提供される。