[論文レビュー] Cyclotomy and analytic geometry over F_1

Yuri I. Manin|ArXiv.org|Sep 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、単位根と円分構造を活用することで、1つの元からなる仮想の体 $F_1$ 上の解析幾何の枠組みを提案する。$\mathbb{Z}[q]$ を円分多項式における完備化を通じて $F_1$ 上の解析関数を定義し、モース–スメール微分同相写像、ウィッテン–レシュティヒン–トゥラエインバリアント、およびトーリック多様体との関係を確立し、$F_1$-モデルを備えた安定マーク付き曲線の普遍族で結実する。

ABSTRACT

Geometry over non--existent "field with one element" $F_1$ conceived by Jacques Tits [Ti] half a century ago recently found an incarnation, in at least two related but different guises. In this paper I analyze the crucial role of roots of unity in this geometry and propose a version of the notion of "analytic functions" over $F_1$. The paper combines a focused survey with some new constructions. In new version, several local additions and changes are made, references added.

研究の動機と目的

• 円分構造を用いて、存在が曖昧な1つの元からなる体 $F_1$ 上の解析関数の概念を構築すること。
• モース–スメール微分同相写像や量子不変量といった、異なる幾何的・算術的文脈を、共通の $F_1$-幾何的枠組みで統一すること。
• 忘却写像およびクラッチング写像を用いて、特にトーリック多様体 $\overline{L}_B$ のモジュライ空間の $F_1$-モデルを構成すること。
• マーク付きの安定曲線などの幾何的対象を、$F_1$-スキーム上の普遍族として解釈すること。

提案手法

• 円分多項式 $\Phi_n(q)$ で生成されるイデアルに関する $\mathbb{Z}[q]$ の完備化を用いて、$F_1$ 上の解析関数を定義する。
• ウィットスキーム上の円分座標の概念を適用し、ボルガーの $\lambda$-環構造に基づく $F_1$-幾何の降下理論的アプローチと整合させる。
• 有限集合 $B$ の分割によってインデックス付けられたファン $F_B$ から、特性関数を定数で除いた生成元によって生成される錐を持つ、トーリック多様体 $\overline{L}_B$ を構成する。
• $B'$ から $B$ の要素を削除することで定義される、$\overline{L}_{B'}$ と $\overline{L}_B$ 間の忘却写像 $f^{B',B}_*$ を定義し、錐構造を保存する。
• 関数を新たな点を含むように拡張することで、$\overline{L}_B$ を $\overline{L}_{B'}$ に埋め込むセクション写像 $s_{j*}$ を導入し、トーリック構造を保存する。
• 忘却写像が、2つの白い点 ($x_0, x_\infty$) と $|B|$ 個の黒い点を持つ genus 0 の安定曲線の普遍族を、$\overline{L}_B$ 上に与えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モース–スメール微分同相写像が整数コホモロジーに作用するとき、その固有値が単位根である場合、これは特徴量1におけるフロベニウス写像として解釈可能か？
• RQ2 ホロロジー球面のウィッテン–レシュティヒン–トゥラエインバリアントは、どのように解析的 $F_1$-幾何の元として解釈できるか？
• RQ3 円分多項式は、$F_1$ 上での一貫性のある解析関数の概念を定義するために果たす役割は何か？
• RQ4 トーリック多様体 $\overline{L}_B$ 上の忘却写像およびクラッチング写像は、どのようにモジュライ空間の $F_1$-モデルを生じさせるか？
• RQ5 方程式 $\Phi_n(q) = 0$ で定義される円分曲線の合併は、どのように $\operatorname{Spec} F_1[q]$ 上のファイバーと見なせるか？

主な発見

• $\mathbb{Z}[q]$ をすべての円分多項式および $q$ で局域化すると、これは主イデアル整域となる。これは、$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[q]$ が $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ と $\operatorname{Spec} F_1[q]$ の積として幾何的直感に合致することを反映している。
• トーリック多様体 $\overline{L}_{B'}$ と $\overline{L}_B$ 間の忘却写像 $f^{B',B}_*$ は平坦であり、$F_1$-モデルへと降下する。このとき、トーリックファイブ構造を保存する。
• 忘却写像の一点 $\overline{L}_\tau$ 上のファイバーは、分割 $\tau$ の部分にラベル付けされた $\mathbb{P}^1$ の鎖であり、隣接する成分の交点に特異点を持つ。
• 写像 $f^{B',B}_*$ は、2つの白い点（$x_0, x_\infty$）と $|B|$ 個の黒い点を持つ genus 0 の安定曲線の普遍族をなす。ここで黒い点はセクション $s_{j*}$ である。
• クラッチング写像 $\overline{L}_{B_1} \times \overline{L}_{B_2} \to \overline{L}_{B_1 \coprod B_2}$ は、トーリック的に記述され、$F_1$-モデルへと降下する。これは、オペラジック構造を支持する。
• $\overline{L}_B$ を滑らかで、固有で、射影的であるトーリック多様体として構成することで、安定曲線のモジュライ空間の $F_1$-モデルの幾何的実現が得られる。