[论文解读] Decidable Characterization of FO2(<, +1) and locality of DA.

Thomas Place, Luc Segoufin|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新的、自包含的证明，表明一阶逻辑中带有两个变量、顺序关系（&lt;）和后继运算（+1）的逻辑系统 FO2(&lt;, +1) 是可判定的，其依据是一种句法特征化：一个语言可被定义于 FO2(&lt;, +1) 当且仅当其句法幺半群满足恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω。该特征化直接蕴含了 DA 类的局部性，解决了先前证明中的一个关键技术障碍，并为 Thérén 和 Wilke 所使用的半直积论证提供了一种更简单、基于组合学的替代方案。

ABSTRACT

Several years ago Th\'erien and Wilke exhibited a decidable characterization of the languages of words that are definable in FO2(<,+1). Their proof relies on three separate ingredients. The first one is the characterization of the languages that are definable in FO2(<) as those whose syntactic semigroup belongs to the variety DA. Then, this result is combined with a wreath product argument showing that being definable in FO2(<,+1) corresponds to having a syntactic semigroup in DA*D. Finally, proving that membership of a semigroup in DA*D is decidable requires a third ingredient: the "locality" of DA, a result proved by Almeida. In this note we present a new self-contained and simple proof that definability in FO2(<,+1) is decidable. We obtain the locality of DA as a corollary.

研究动机与目标

• 提供一个自包含的、初等的证明，表明 FO2(&lt;, +1) 中的可定义性是可判定的，避免依赖复杂的代数工具。
• 建立一个语言可被定义于 FO2(&lt;, +1) 当且仅当其句法幺半群满足恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω。
• 将 DA 类的局部性作为推论得出，从而为该逻辑片段的可判定性结果提供更简洁的基础。
• 用基于 Ehrefeucht-Fraïssé 游戏和幺半群恒等式的直接、组合学证明，取代 Thérén 和 Wilke 原始的半直积论证。

提出的方法

• 使用两个棋子的 Ehrefeucht-Fraïssé 游戏来刻画字之间的 k-等价性，将逻辑不可区分性与句法结构联系起来。
• 通过幂等元 e 以及字 U、V、E 的构造，生成特定字 wk 和 w′k，以测试在 FO2(&lt;, +1) 下的逻辑不可区分性。
• 通过在游戏剩余步数上进行归纳，保持关于棋子位置相对于结构块（如 E、U、V 的副本）的不变量，以确保复制者（Duplicator）拥有获胜策略。
• 通过分析幂等元生成的子幺半群，将 FO2(&lt;, +1) 的可定义性归约为在修改后的字母表上 FO2(&lt;) 的可定义性。
• 通过句法幺半群分析，推导出关键恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω，该恒等式既是 FO2(&lt;, +1) 可定义性的必要条件也是充分条件。
• 利用句法同态 α: A∗→M 将语言性质转化为幺半群恒等式，从而实现有效的可判定性检查。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖半直积构造的前提下，实现对 FO2(&lt;, +1) 的可判定特征化？
• RQ2 DA 类的局部性是否可直接由句法幺半群中一个更简单、基于组合学的恒等式推出？
• RQ3 一个正则语言在 FO2(&lt;, +1) 中的可定义性能否仅通过其句法幺半群中一组有限恒等式来完全刻画？
• RQ4 恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω 是否完整捕捉了 FO2(&lt;, +1) 的表达能力？

主要发现

• 一个语言可被定义于 FO2(&lt;, +1) 当且仅当其句法幺半群满足恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω。
• 该证明表明 FO2(&lt;, +1) 等价于 LDA 类，其中 LDA 由所有满足如下性质的幺半群 S 组成：对每个幂等元 e ∈ S，子幺半群 eSe 属于 DA。
• DA 的局部性作为直接推论成立，因为当且仅当恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω 完全刻画该类时，才有 DA ∗ D = LDA 成立。
• FO2(&lt;, +1) 的可判定性现通过一种简单、初等的证明得以确立，该证明基于 Ehrefeucht-Fraïssé 游戏和幺半群恒等式，取代了复杂的半直积论证。
• 句法幺半群恒等式为对应于 FO2(&lt;, +1) 的类提供了有限且有效的成员资格判定准则，从而支持算法化的决策过程。