[論文レビュー] Deciding Graph MSO Properties: Has it all been told already?

Jakub Gajarský, Petr Hliněný|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Formal Methods in Verification被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、高さが有界な彩色付き木（shrub-depth h）に解釈可能なグラフについて、r 個の量化子を含む任意の単調第二階論理（MSO）性質は、r と色の数の初等関数で有界されるサイズの有限個のカーネルからなる集合を用いて決定可能であることを確立している。これにより、MSO モデルチェックイングの初等時間アルゴリズムが得られ、このようなグラフクラスにおいて一階論理と MSO 論理が同じ表現力を有することを示している。

ABSTRACT

Fix an integer h>=1. In the universe of coloured trees of height at most h, we prove that for any graph decision problem defined by an MSO formula with r quantifiers, there exists a set of kernels, each of size bounded by an elementary function of r and the number of colours. This yields two noteworthy consequences. Consider any graph class G having a one-dimensional MSO interpretation in the universe of coloured trees of height h (equivalently, G is a class of shrub-depth h). First, class G admits an MSO model checking algorithm whose runtime has an elementary dependence on the formula size. Second, on G the expressive powers of FO and MSO coincide (which extends a 2012 result of Elberfeld, Grohe, and Tantau).

研究の動機と目的

• MSO 定義可能な性質のカーネルサイズに対する初等的上界を、shrub-depth h のグラフクラスに対して確立すること。
• このようなグラフクラスにおける MSO モデルチェックイングの実行時間の公式サイズ依存性が初等的であることを示すこと。
• 2012 年の Elberfeld, Grohe, Tantau の結果を拡張し、これらのクラスにおいて一階論理と単調第二階論理が同じ表現力を有することを証明すること。
• 高さが有界な彩色付き木における MSO 性質に対して、一様かつ有限なカーネルに基づく決定手続きを提供すること。

提案手法

• 高さが h 以下の彩色付き木の構造を、グラフクラスの論理的宇宙として利用する。
• r 個の量化子を含む MSO 公式を用いて、グラフ上の決定問題を定義する。
• 公式の真偽値がカーネルへの属性にのみ依存するように、r と色の数の初等関数で有界されるサイズの有限個のカーネル集合を構築する。
• shrub-depth h を持つグラフクラスが、彩色付き木における一次元 MSO 解釈を許容することを用いて、決定可能性の結果を移転する。
• 入力構造を公式依存の小さなコアに縮小するカーネル化技術を用いる。
• カーネルの数とそのサイズが、r と色の数に関して初等的であることを確立し、初等的実行時間を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 shrub-depth h のグラフクラスにおける MSO モデルチェックイングは、公式サイズに関して初等的時間で行えるか？
• RQ2 shrub-depth h グラフクラスにおけるすべての MSO 定義可能な性質は、初等的サイズの有限カーネル系を有するか？
• RQ3 shrub-depth h のグラフクラスにおいて、一階論理の表現力と単調第二階論理の表現力は等しいか？
• RQ4 任意の r 個の量化子を含む MSO 公式の決定問題は、有界サイズのカーネル集合への属性チェックに還元可能か？

主な発見

• 任意の r 個の量化子を含む MSO 公式に対して、r と色の数の初等関数で有界されるサイズの有限個のカーネル集合が存在し、その公式の真偽値はカーネルへの属性にのみ依存する。
• shrub-depth h のグラフクラスにおける MSO モデルチェックイング問題は、公式サイズに関して初等的時間のアルゴリズムを有する。
• shrub-depth h のグラフクラスにおいて、一階論理と単調第二階論理は同等の表現力を有する。これは 2012 年の結果を拡張するものである。
• カーネルに基づく決定手続きは一様的かつ有限であり、この文脈における MSO 性質の決定に対して完全かつ有効な方法を提供する。