[論文レビュー] Deciding the existence of perfect entangled strategies for nonlocal games

Laura Mančinska, David E. Roberson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非局所ゲームに対して、最大にエンタングルされた状態における射影測定による完全なエンタングルド戦略（PME戦略）の存在を決定することは、導出されたグラフ上の量子独立集合数問題に還元されることを確立している。主な結果は、独立集合ゲームがこの決定問題において最も難しいインスタンスであり、すべての対称的同期ゲームにおける完全戦略の存在が、独立集合ゲームに関する同じ問いに還元可能であることである。

ABSTRACT

First, we consider the problem of deciding whether a nonlocal game admits a perfect entangled strategy that uses projective measurements on a maximally entangled shared state. Via a polynomial-time Karp reduction, we show that independent set games are the hardest instances of this problem. Secondly, we show that if every independent set game whose entangled value is equal to one admits a perfect entangled strategy, then the same holds for all symmetric synchronous games. Finally, we identify combinatorial lower bounds on the classical and entangled values of synchronous games in terms of variants of the independence number of appropriate graphs. Our results suggest that independent set games might be representative of all nonlocal games when dealing with questions concerning perfect entangled strategies.

研究の動機と目的

• 非局所ゲームが最大にエンタングルされた状態における射影測定による完全なエンタングルド戦略を有するかどうかを決定する計算の複雑性を特定すること。
• 対称的同期ゲームにおける完全戦略の存在が、独立集合ゲームに関する同じ問いに還元可能かどうかを調査すること。
• グラフ論的不変量を用いて、同期ゲームの古典的およびエンタングルド値に対する組合せ的下界を同定すること。
• 制限された測定およびエンタングルメント条件の下で、完全なエンタングルド戦略の決定可能性および達成可能性を調査すること。

提案手法

• PME（最大にエンタングルされた状態における射影測定）戦略の概念を導入し、決定問題 PERFECT-PME を定義する。
• 非局所ゲーム $G$ からゲームグラフ $X(\tilde{G})$ を構築し、その構造と戦略空間を符号化する。
• 量子独立集合数 $\alpha_q(X(\tilde{G}))$ を、完全なPME戦略の存在を特徴付ける主要な不変量として用いる。
• PERFECT-PME を量子独立集合数問題（Q-INDEPENDENCE）への多項式時間のカープ還元を確立する。
• 同期ゲームにおける対称性と自己一貫性を活用し、$G$ における戦略を関連する独立集合ゲーム $G'$ における戦略に関連付ける。
• 作用素論的およびグラフ論的道具を用いて、$\alpha_q(X(\tilde{G})) = |Q| + |R|$ if and only if が完全なPME戦略の存在と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所ゲームに対して完全なPME戦略の存在を決定する問題は計算的に困難であり、その複雑性クラスは何か？
• RQ2 対称的同期ゲームにおける完全なエンタングルド戦略の存在が、独立集合ゲームに関する同じ問いに還元可能か？
• RQ3 ゲームのエンタングルド値とその関連グラフの量子独立集合数との関係は何か？
• RQ4 どのような条件下で、1のエンタングルド値がPME戦略によって達成可能か？
• RQ5 独立集合ゲームは、完全なエンタングルド戦略の存在という観点から、一般の非局所ゲームを代表していると言えるか？

主な発見

• 決定問題 PERFECT-PME は、量子独立集合数問題（Q-INDEPENDENCE）への多項式時間還元が可能である。
• 独立集合ゲームは、PERFECT-PME 問題の最も難しいインスタンスであり、それらに対して問題を解くことで、すべての非局所ゲームに対して問題を解くことが可能である。
• 非局所ゲーム $G$ が完全なPME戦略を有するのは、$\alpha_q(X(\tilde{G})) = |Q| + |R|$ が成り立つ場合に限る。これは明確な特徴付けを確立する。
• すべての独立集合ゲームでエンタングルド値が1である場合に完全なエンタングルド戦略が存在するならば、すべての対称的同期ゲームに対しても同様に成立する。
• 対称的同期ゲームのエンタングルド値が1であることは、関連する独立集合ゲームの量子独立集合数が質問集合サイズの和に等しいことと同値である。
• 結果から、完全なエンタングルド戦略の存在を研究するにあたり、独立集合ゲームは一般の非局所ゲームを代表していると考えられる。