[論文レビュー] Decomposition numbers for finite Coxeter groups and generalised non-crossing partitions

Christian Krattenthaler, Thomas Müller|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限コックスター群の分解数を計算する。具体的には、指定された部分群からのコックスター生成元の積に分解する最小分解の数を求める。型 $A_n$、$B_n$、$D_n$ に対して明示的な公式を提示し、$D_n$ に関しては新しい結果を得る。これらの分解数は、アームストロングの一般化された非交叉分割のposetにおける多重鎖の数え上げに応用され、既知のすべての数え上げ結果を包含する一般式が得られ、型 $D_n$ におけるアームストロングの $F=M$ 予想の証明に繋がる。これにより、すべての型についての予想が完成する。

ABSTRACT

Given a finite irreducible Coxeter group $W$, a positive integer $d$, and types $T_1,T_2,...,T_d$ (in the sense of the classification of finite Coxeter groups), we compute the number of decompositions $c=\si_1\si_2 cdots\si_d$ of a Coxeter element $c$ of $W$, such that $\si_i$ is a Coxeter element in a subgroup of type $T_i$ in $W$, $i=1,2,...,d$, and such that the factorisation is "minimal" in the sense that the sum of the ranks of the $T_i$'s, $i=1,2,...,d$, equals the rank of $W$. For the exceptional types, these decomposition numbers have been computed by the first author. The type $A_n$ decomposition numbers have been computed by Goulden and Jackson, albeit using a somewhat different language. We explain how to extract the type $B_n$ decomposition numbers from results of Bóna, Bousquet, Labelle and Leroux on map enumeration. Our formula for the type $D_n$ decomposition numbers is new. These results are then used to determine, for a fixed positive integer $l$ and fixed integers $r_1\le r_2\le ...\le r_l$, the number of multi-chains $π_1\le π_2\le ...\le π_l$ in Armstrong's generalised non-crossing partitions poset, where the poset rank of $π_i$ equals $r_i$, and where the "block structure" of $π_1$ is prescribed. We demonstrate that this result implies all known enumerative results on ordinary and generalised non-crossing partitions via appropriate summations. Surprisingly, this result on multi-chain enumeration is new even for the original non-crossing partitions of Kreweras. Moreover, the result allows one to solve the problem of rank-selected chain enumeration in the type $D_n$ generalised non-crossing partitions poset, which, in turn, leads to a proof of Armstrong's $F=M$ Conjecture in type $D_n$.

研究の動機と目的

• 有限非可約コックスター群の分解数を計算すること、特に $A_n$、$B_n$、$D_n$ 型において、$D_n$ の結果が新しいこと。
• これらの分解数とアームストロングの一般化された非交叉分割のposetにおける多重鎖の数え上げとの間の関係を確立すること。
• 導出された公式が、通常および一般化された非交叉分割に関する既知のすべての数え上げ結果を統一・一般化することを示すこと。
• 新しい多重鎖の数え上げ結果を用いて、型 $D_n$ におけるアームストロングの $F=M$ 予想を証明し、すべての型にわたる予想を完成させること。
• アームストロングの一般化された非交叉分割のposetにおける最大区間に関するもう一つの予想に取り組むこと。

提案手法

• 型 $A_n$ の分解数は、ゴールデンとジャクソンの先行研究から取り入れる。型 $B_n$ の分解数は、ボーナ、ブーゼー、ラベイユ、ルルーのマップの数え上げ結果から抽出する。
• 型 $D_n$ の分解数について、新しい公式を導出することで、すべての非可約コックスター型におけるこのような数の分類を完成させる。
• 分解数を用いて、一般化された非交叉分割のposetにおける多重鎖の数 $\pi_1 \leq \pi_2 \leq \cdots \leq \pi_l$ の一般式を導出する。ここで、$\pi_i$ のランクは $r_i$ であり、$\pi_1$ のブロック構造は固定されている。
• この手法は、根系、反映群、およびposetの数え上げにおけるモービウス関数を用いた組合せ論的技術に依存する。
• 主な技術的道具は一般化されたチュ＝ヴァンダモンドの和公式であり、これにより多重鎖の数の閉形式表現が得られる。
• 型 $D_n$ における $F=M$ 予想の証明は、ランク選択鎖の数え上げに依存しており、これは新しい多重鎖の公式によって可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限コックスター群の分解数、特に以前の公式が存在しなかった型 $D_n$ における分解数は何か？
• RQ2 分解数を用いて、指定されたランクとブロック構造を持つ一般化された非交叉分割のposetにおける多重鎖をどのように数え上げることができるか？
• RQ3 導出された多重鎖の数え上げ公式が、適切な和分により、非交叉分割に関する既知のすべての数え上げ結果を包含するか？
• RQ4 新しい多重鎖の数え上げ結果を用いて、アームストロングの $F=M$ 予想を型 $D_n$ で証明できるか？
• RQ5 一般化された非交叉分割のposetにおけるランダムな多重鎖を含む最大区間の構造は何か？この問題は新しい枠組みを用いて取り扱えるか？

主な発見

• 本論文は、型 $D_n$ における分解数の最初の明示的公式を提供し、すべての有限非可約コックスター群におけるこのような数の分類を完成させる。
• 型 $E_8$ に対しては126個の分解数を計算し、$N_{E_8}(A_1^4, A_1^2, A_1^2) = 3375$ および $N_{E_8}(A_1^4, A_1^2, A_1, A_1) = 13500$ など、他の値も含む。
• 一般化された非交叉分割における多重鎖の数え上げの公式は、古典的なクレヴァレスの非交叉分割に対しても新規であり、適切な和分によりすべての既知の数え上げ結果を包含する。
• この結果により、型 $D_n$ の一般化された非交叉分割のposetにおけるランク選択鎖の数え上げが可能となり、アームストロングの $F=M$ 予想の型 $D_n$ における証明に繋がる。
• この枠組みは、以前未解決であったアームストロングの一般化された非交叉分割のposetにおける最大区間に関する予想に対しても解決を可能にする。
• 本論文は、$F=M$ 予想がすべての型で成り立つことを確立し、すべての有限コックスター群にわたる計算的証明を完成させる。