[論文レビュー] Decorated Cospans

Brendan Fong|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有限余極限を備えた圏とbraided monoidal圏の間のlax braided monoidal関手から対称モノイダル圏を構成する手法として、装飾付きコスパンを導入する。同種の射は、ターゲット圏からの付加構造（装飾）を備えたコスパンである。主な貢献は、装飾付きコスパン圏がハイパーグラフ圏であることを示し、電気回路や化学反応系といったネットワーク型構造における合成的モデリングを可能にすることにある。

ABSTRACT

Let $\mathcal C$ be a category with finite colimits, writing its coproduct $+$, and let $(\mathcal D, \otimes)$ be a braided monoidal category. We describe a method of producing a symmetric monoidal category from a lax braided monoidal functor $F: (\mathcal C,+) o (\mathcal D, \otimes)$, and of producing a strong monoidal functor between such categories from a monoidal natural transformation between such functors. The objects of these categories, our so-called `decorated cospan categories', are simply the objects of $\mathcal C$, while the morphisms are pairs comprising a cospan $X ightarrow N \leftarrow Y$ in $\mathcal C$ together with an element $1 o FN$ in $\mathcal D$. Moreover, decorated cospan categories are multigraph categories---each object is equipped with a special commutative Frobenius monoid---and their functors preserve this structure.

研究の動機と目的

• 有限余極限を備えた圏とbraided monoidal圏の間のlax braided monoidal関手から対称モノイダル圏を構成する一般枠組みを構築すること。
• 射がターゲット圏からの付加構造（装飾）を備えたコスパンである装飾付きコスパン圏の構成を形式化すること。
• 装飾付きコスパン圏が自然にハイパーグラフ圏構造を備えており、各対象に特別な可換Frobeniusモノイドが存在することを示すこと。
• 装飾付きコスパン圏間の関手がこのハイパーグラフ構造を保存することを確立し、合成的一致性を保証すること。
• 電気回路、化学反応、その他のネットワーク構造といったオープン系をモデリングするための圏論的基盤を提供すること。

提案手法

• 有限余極限を備えた圏Cの対象を対象とし、射がX → N ← Yというコスパンであり、その頂点Nにbraided monoidal圏Dにおける1 → FNの要素による装飾が施された装飾付きコスパン圏を定義する。
• Cにおける余直積とDにおけるテンソル積を用いて、装飾付きコスパン圏に対称モノイダル構造を構成する。
• CとDの間のlax braided monoidal関手F: (C, +) → (D, ⊗)を用いて、コスパンの頂点に装飾を割り当て、余極限の合成と整合性を保証する。
• 各対象に特別な可換Frobeniusモノイドを割り当てることで、結果として得られる圏がハイパーグラフ圏であることを証明する。この構造は装飾関手から導出される。
• 関手間のモノイダル自然変換が、装飾付きコスパン圏間の強モノイダル関手を誘導することを示し、ハイパーグラフ構造を保存することを示す。
• 整合性写像、単位法則、変換の自然性を含む可換図式を用いて、誘導された関手のモノイダル性と自然性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、有限余極限を備えた圏とbraided monoidal圏の間のlax braided monoidal関手から、対称モノイダル圏を体系的に構成できるか？
• RQ2 装飾付きコスパン圏が自然に持ち得る代数的構造は何か？ そして、この構造はオープン系の合成をどのように支援するか？
• RQ3 装飾関手間のモノイダル自然変換は、装飾付きコスパン圏間の構造を保存する関手をどのように誘導するか？
• RQ4 出発圏における整合性写像と単位法則は、装飾付きコスパン構成にどのように反映されるか？
• RQ5 装飾付きコスパンは、電気回路や化学反応ネットワークといった現実世界のネットワーク系を、合成的かつ代数的に一貫してモデリングできるか？

主な発見

• 装飾付きコスパン圏は、braided monoidal圏Dからの要素による装飾が施されたコスパンを射として備えた対称モノイダル圏である。
• 装飾付きコスパン圏の各対象には特別な可換Frobeniusモノイドが備わっており、この圏はハイパーグラフ圏である。
• 構成はモノイダル構造を保存する：装飾関手間の強モノイダル関手は、装飾付きコスパン圏間の強モノイダル関手を誘導する。
• 誘導された関手の自然性は、元のモノイダル変換の自然性と可換図式の可換性から導かれる。
• 関手Tの下で、装飾付きコスパン圏における単位元の射が保存される。これは単位および整合性図式の可換性によって示される。
• 全体の構成は余極限保存性および整合性法則と整合的であり、装飾付きコスパンの合成が適切に定義され、結合的であることが保証される。