[論文レビュー] Defects, dualities and the geometry of strings via gerbes II. Generalised geometries with a twist, the gauge anomaly and the gauge-symmetry defect

Rafał R. Suszek|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元非線形σ模型における共形的欠陥を伴う場合の、終域空間の一般化された接 bundle に新しいねじれ付き相対コッホト代数的構造を導入し、対称性代数、ゲージ異常、およびgerbe理論的幾何学を統一する。これは、小規模および大規模のゲージ異常を、構造的作用群の群の族を有する主 bundle の圏を通じてコhomologicalに解釈することで、ワールドシート理論におけるゲージ対称性の欠陥とグローバルな位相的障害の間に双対性を明らかにする。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers discussing in the framework of gerbe theory canonical and geometric aspects of the 2d nonlinear sigma model in the presence of conformal defects in the worldsheet. Employing the formal tools worked out in the first paper of the series, 1101.1126 [hep-th], a thorough analysis of rigid symmetries of the sigma model is carried out with emphasis on algebraic structures on generalised tangent bundles over the target space of the theory and over its state space that give rise to a realisation of the symmetry algebra on states. The analysis leads to a proposal for a novel differential-algebraic construct extending the original definition of the (gerbe-twisted) Courant algebroid on the generalised tangent bundles over the target space in a manner codetermined by the structure of the 2-category of abelian bundle gerbes with connection over it. The construct admits a neat interpretation in terms of a relative Cartan calculus associated with the hierarchy of manifolds that compose the target space of the multiphase sigma model. The paper also discusses at length the gauge anomaly for the rigid symmetries, derived and quantified cohomologically in a previous work of Gawȩdzki, Waldorf and the author. The ensuing reinterpretation of the small gauge anomaly in terms of the twisted rel. Courant algebroid modelling the Poisson algebra of Noether charges of the symmetries is elucidated through an equivalence between a category built from data of the gauged sigma model and that of principal bundles over the worldsheet with a structural action groupoid based on the target space. Finally, the large gauge anomaly is identified with the obstruction to the existence of topological defect networks implementing the action of the gauge group of the gauged sigma model and those giving a local trivialisation of a gauge bundle of an arbitrary topology over the worldsheet.

研究の動機と目的

• 共形的欠陥を伴う多相非線形σ模型における剛体的対称性のための微分代数的枠組みを構築すること。
• 一般化幾何学とgerbe理論を用いて、ネーターの電荷の幾何的実現と、それらの欠陥を越えた保存則を統一すること。
• ねじれ付き相対コホモロジーおよび群の族の圏を用いて、小規模および大規模のゲージ異常をコホモロジー的特徴づけすること。
• 一貫したゲージ化σ模型の圏と、構造的作用群の群の族 Gσ⋉F を持つ主 bundle の間のカテゴリカル同値関係を確立し、位相的欠陥ネットワークの役割を明確にすること。
• ヴィノグラドフ構造とインタービブレーンデータを用いて、非ねじれおよびねじれセクターを含む対称性の幾何的記述を拡張すること。

提案手法

• 接続を伴うアーベルバンドルgerbeを用いて、終域空間の一般化された接 bundle にねじれ付き相対コッホト代数的構造を構築する。
• 相対的カルタン微積分法を適用し、欠陥に起因する対称性およびウェッズ＝ズミノ項と整合する括弧構造を定義する。
• デリーニハイパコホモロジーを用いてウェッズ＝ズミノ項をモデル化し、終域空間内の欠陥の位相的データを符号化する。
• 小規模ゲージ異常を、状態上での対称性代数がハミルトニアン的実現を許さない障害として再解釈し、相対的ねじれ付きコッホト代数的構造内でのリーブニッツ・ヤコビ・インボリューション異常によって引き起こされることを示す。
• 一貫したゲージ化σ模型の圏と、ワールドシート上の主 bundle の圏（構造的群の族 Gσ⋉F を持つ）との間でカテゴリカル同値関係を確立する。
• 局所的または大域的なゲージ変換を実現する位相的欠陥ネットワークを構築し、単体的双対性背景を実際の形で実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非線形σ模型に共形的欠陥を伴う場合、一般化幾何学を用いて、状態空間上でのその対称性代数をどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 ねじれ付き相対コッホト代数的構造を用いた場合、小規模ゲージ異常のコホモロジー的解釈は何か？
• RQ3 欠陥ネットワークはどのようにゲージ対称性を実装するのか？また、任意のゲージ bundle のトポロジーに対してはどのような障害が生じるか？
• RQ4 一貫したゲージ化σ模型の圏と、構造的作用群の族 Gσ⋉F を持つ主 bundle の圏との間のカテゴリカル同値関係は何か？
• RQ5 大規模ゲージ異常は、任意のトポロジー型のゲージ場に結合可能な一貫した量子CFTの存在とどのように関係しているか？

主な発見

• 新しいねじれ付き相対コッホト代数的構造が、アーベルバンドルgerbeの2-圏によって、元のコッホト代数的構造の微分代数的拡張として構成され、その双対的決定要因を持つ。
• 小規模ゲージ異常は、相対的ねじれ付きコッホト代数的構造内でのリーブニッツ、ヤコビ、およびインボリューション異常の組み合わせによって生じる、状態上での対称性代数のハミルトニアン的実現の存在障害として再解釈される。
• 作用群の族 Gσ⋉F の接代数的構造が、ねじれ付きコッホト代数的構造内でのリー代数的構造の形成障害として自然に現れ、異常と群の族構造を結びつける。
• 一貫したゲージ化σ模型の圏（大域的切断を伴う）と、構造的作用群の族 Gσ⋉F を持つワールドシート上の主 bundle の群の族との間でカテゴリカル同値関係が確立された。
• ゲージ変換を実現する明示的な位相的欠陥ネットワークが構築され、以前の研究で提案された単体的双対性背景の実際の実現が得られた。
• 大規模ゲージ異常は、任意のトポロジー型のゲージ bundle を持つ一貫した量子CFTの存在の障害として特定され、等価的に、任意のトポロジー型のゲージ場への結合の障害として解釈される。