[論文レビュー] Deformation Expression for Elements of Algebras (II) --(Weyl algebra of 2m-generators)--

Hideki Omori, Yoshiaki Maeda+2 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2m個の生成子をもつウェイユ代数の変形量力学的量子化を検討し、一般の順序付け表現における線形および二次形式の星指数関数に注目する。特定の変形パラメータKsを導入することで、著者らは超越的拡張ウェイユ代数がクライフォード代数構造をもつことを示し、ウェイユ＝クライフォード代数を構成する。主な結果として、Ks順序表現において代数はクライフォード代数Cliff(m)を含み、群P(2)_{Ks}はSpin(m)⊗Cに同型であることが示され、変形量力学とスピン群の間の深い関係が確立される。

ABSTRACT

This is a noncommutative version of the previous work entitled "Deformation Expression for Elements of Algebras (I)." In general in a noncommutative algebra, there is no canonical way to express elements in univalent way, which is often called "ordering problem". In this note we discuss this problem in the case of the Weyl algebra of 2m-generators. By fixing an expression, we extends Weyl algebra transcendentally. We treat *-exponential functions of linear forms, and quadratic forms of crossed symbol under generic expression parameters.

研究の動機と目的

• 非可換ウェイユ代数における順序付け問題を、一般の順序付け表現を固定することで解決すること。
• 変形量力学的量子化における線形および二次形式の星指数関数の代数的構造を研究すること。
• 拡張ウェイユ代数がクライフォード代数構造をとる条件を同定すること。
• 二次形式の星指数関数に関連する群構造を特定すること。
• 変形ウェイユ代数とSO(m,C)の二重被覆、すなわちSpin(m)⊗Cとの関係を確立すること。

提案手法

• 正規順序表現(K0)を用い、それを一般の順序付け表現パrameter Kで超越的に拡張する。
• ΨDO積公式を適用して、正規順序多項式の∗K0積を計算する。
• 交差記号の星指数関数を導入し、積公式[A]∗K0[B] = [A + B + 2AB]を導出する。これによりGL(m,C)に関連する。
• Ks順序表現における二次形式の星指数関数の特異点を分析し、2変数における行列式方程式を用いて臨界点を同定する。
• 頂点演算子とインターリーブァーを用いて、異なる順序表現の間の関係を関係づけ、クライフォード代数構造の出現を導出する。
• 複素解析および行列式恒等式を用いて、Ks順序表現における指数関数の特異点が[0,π]×[0,π]内での対角線(t0,t0)に限定されることを示し、良好に定義された二重被覆が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェイユ代数における二次形式の星指数関数が、どのような条件下でクライフォード代数を生成するか。
• RQ2 変形パラメータKの選択が、星指数関数の代数的構造にどのように影響するか。
• RQ3 Ks順序表現における二次形式の星指数関数が実現する群構造は何か。
• RQ4 なぜKs順序表現における指数関数の特異点が(t1,t2)平面の対角線上にのみ現れるのか。
• RQ5 異なる順序表現間のインターリーブァー写像が代数的関係を保存し、クライフォード代数の出現をどのように導くのか。

主な発見

• Ks順序表現における超越的拡張ウェイユ代数は、クライフォード代数Cliff(m)を含み、ウェイユ＝クライフォード代数構造を確立する。
• 群P(2)_{Ks}はSpin(m)⊗Cに同型であり、SO(m,C)の複素数倍二重被覆を提供する。
• m=2の場合、星指数関数:e^{tiℏ(uk◦vk+ul◦vl)}∗∗V∗:Kの特異点はt0∈(0,π)および2π−t0に現れ、完全なループを描いた後、元の値に戻る。その符号は経路に依存する。
• 2変数における特異点の行列式方程式は、α−βが正の純虚数であるという条件下で、解を対角線(t0,t0)∈[0,π]×[0,π]上にのみ持つ。
• 異なる順序表現間のインターリーブァーは2対2写像であり、Ks順序表現では、2つのε00(k)演算子の積が(ε00(k)∗ε00(ℓ))²∗ = −1を満たす。これはクライフォード代数の定義的関係である。
• ∗K0積における要素[A]の逆元は[−(I+2A)⁻¹A]で与えられ、O′_{K0}がGL(m,C)に同型な群をなすことが示される。