[論文レビュー] Deformations of generalized calibrations and compact non-Kahler manifolds with vanishing first Chern class

J. Gutowski, Stefan Ivanov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、構造群が縮小されたリーマン多様体 U(n)、SU(n)、G₂、Spin(7) における一般化されたキャリブレーションを、そのホロノミーがこれらの群を保存する torsion を持つ計量接続を用いて調査する。この研究では、このようなキャリブレート部分多様体のモジュライ空間が有限次元であることを証明し、ホップファイブレーションや、Bismut 接続による SU(n) ホロノミーを持つ、非ケーラー的で第一チャーン類がゼロであるコンパクト多様体といった明示的な例を構成する。これは、ケーラー的でない設定においてもカルビ・ヤウ多様体を一般化するものである。

ABSTRACT

We investigate the deformation theory of a class of generalized calibrations in Riemannian manifolds for which the tangent bundle has reduced structure group U(n), SU(n), G_2 and Spin(7). For this we use the property of the associated calibration form to be parallel with respect to a metric connection which may have non-vanishing torsion. In all these cases, we find that if there is a moduli space, then it is finite dimensional. We present various examples of generalized calibrations that include almost hermitian manifolds with structure group U(n) or SU(n), nearly parallel G_2 manifolds and group manifolds. We find that some Hopf fibrations are deformation families of generalized calibrations. In addition, we give sufficient conditions for a hermitian manifold (M,g,J) to admit Chern and Bismut connections with holonomy contained in SU(n). In particular we show that any connected sum of $k \geq 3$ copies of $S^3 imes S^3$ admits a hermitian structure for which the restricted holonomy of a Bismut connection is contained in SU(3).

研究の動機と目的

• 構造群が縮小されたリーマン多様体（U(n)、SU(n)、G₂、Spin(7) を含む）における一般化キャリブレーションの変形理論を調査すること。
• 一般化キャリブレーション下でのキャリブレート部分多様体のモジュライ空間を分析し、変形系が楕円型である場合にはそれが有限次元的であることを示すこと。
• 第一チャーン類がゼロで、非ケーラー的であるが、Bismut または Chern 接続が SU(n) ホロノミーを持つ、コンパクトな非ケーラー的多様体の明示的例を構成すること。
• ケーラー的でないヘルミート多様体において、Bismut 接続の SU(n) ホロノミーを満たす十分条件を同定することで、カルビ・ヤウの定理をケーラー的でないヘルミート多様体へ一般化すること。

提案手法

• U(n)、SU(n)、G₂、または Spin(7) に縮小されたホロノミーを持つ、非自明な torsion を持つ計量接続を用い、閉じていない可能性のある平行キャリブレーション形式を活用する。
• 一般化キャリブレーションに変形理論を適用し、関連する微分系が楕円型であることを示し、これによりモジュライ空間が有限次元的であることを示す。
• エネルギー汎関数 E(Z) = Vol(Z) − ∫_Z ψ の第二変分を分析し、キャリブレート部分多様体の安定性を研究する。
• 群多様体、同次空間、複素構造を用いて明示的例を構成する。これには、複素 Heisenberg 群およびそのコンパクト商が含まれる。
• ヘルミート多様体における Bismut 接続および Chern 接続を用い、ホロノミーと曲率を計算することで SU(n) の縮小を検証する。
• Aeppli コホモロジーおよび Michelsohn の特徴づけを用いて、バランス構造および Bismut 接続のリッチ平坦性条件を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、ヘルミート多様体が SU(n) に含まれるホロノミーを持つ Bismut 接続を有するか？
• RQ2 torsion を持つ計量接続を持つ多様体における、一般化キャリブレート部分多様体のモジュライ空間の構造はいかなるものか？
• RQ3 第一チャーン類がゼロで、非ケーラー的であるが、コンパクトなヘルミート多様体が SU(n) ホロノミーを持つ Bismut 接続を有するか？
• RQ4 ホップファイブレーションは、ホロノミーが縮小された多様体における一般化キャリブレーションの族として現れるか？
• RQ5 ヘルミート多様体がバランス構造をもち、かつリッチ平坦な Bismut 接続を持つための十分条件は何か？

主な発見

• 変形系が楕円型である限り、一般化キャリブレート部分多様体のモジュライ空間は有限次元的である。これは、すべての考察されたホロノミー群に当てはまる。
• 複素 Iwasawa 多様体（Heisenberg 群のコンパクト商）は、ケーラー的でないが、Bismut 接続のホロノミーが SU(3) に含まれることを示す。
• Iwasawa 多様体上では、(0,3) 形式 ψ = α₁ ∧ α₂ ∧ α₃ が、Chern 接続および Bismut 接続の両方に対して平行であり、これにより SU(3) ホロノミーが確認される。
• Iwasawa 多様体内に、キリングベクトル場 e₃ によって生成される 1 パラメータ族の実 3 次元部分多様体が存在し、これは SAS キャリブレーションの変形族を形成する。
• k ≥ 3 個の S³ × S³ の連結和は、Bismut 接続の制限ホロノミーが SU(3) に含まれるヘルミート構造を持つ。
• 第一チャーン類がゼロで、コホモロジカルなケーラー的条件を満たす 2n 次元のコンパクトなヘルミート多様体は、リッチ平坦な Bismut 接続を持つヘルミート構造を持つ。