[論文レビュー] Lectures on special Lagrangian geometry

Dominic Joyce|ArXiv.org|Nov 9, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、複素数体ℂ^mにおける特殊ラグランジュ（SL）幾何について包括的な紹介を提供し、実マングェ＝アンペール型方程式の解を用いたℂ^m内におけるSL m-フォールドの構成に焦点を当てる。SLファイブレーションがℂ^3においてT²-コーン型特異点を持つように構成可能であり、これらの特異点が一般のほぼカルラビ＝ヤウ3-多様体におけるcodimension-one特異点のモデルであることが示され、またその特異点は安定的であることが判明した。これはSYZ予想における特異ファイバーの局所的モデルを提供する。

ABSTRACT

We introduce special Lagrangian submanifolds in C^m and in (almost) Calabi-Yau manifolds, and survey recent results on singularities of special Lagrangian submanifolds, and their application to the SYZ Conjecture. The paper is aimed at graduate students in Geometry, String Theorists, and others wishing to learn the subject. Special Lagrangian m-folds in C^m are defined, and ways of constructing them described. 'Almost Calabi-Yau manifolds' (a generalization of Calabi-Yau manifolds useful in special Lagrangian geometry) are introduced, and the deformation theory, obstruction theory, and moduli spaces of compact special Lagrangian m-folds in (almost) Calabi-Yau m-folds are explained. Then we consider singular special Lagrangian submanifolds which are locally modelled on special Lagrangian cones with an isolated singularity at 0. Compact singular special Lagrangian submanifolds of this type have a well-behaved deformation theory, and can often be realized as limits of families of compact, nonsingular special Lagrangian submanifolds. Applications of this to the SYZ Conjecture and Mirror Symmetry of Calabi-Yau 3-folds are discussed.

研究の動機と目的

• ℂ^mおよびカルラビ＝ヤウ多様体における特殊ラグランジュ部分多様体の基礎的導入を提供すること。
• コhomologicalな手法を用いて、コンパクトなSL m-フォールドの変形理論およびモジュライ空間を分析すること。
• コンパクトなSL m-フォールドにおける孤立したコーン型特異点の構造を研究し、摂動に対してその安定性を検証すること。
• ℂ^3における非コンパクトなSL 3-フォールドの明示的族を、実マングェ＝アンペール方程式の解を用いて構成すること。
• SLファイブレーションにおけるT²-コーン型特異点ファイバーが、一般のほぼカルラビ＝ヤウ3-多様体におけるcodimension-one特異点をモデル化すると提案し、SYZ予想を支援すること。

提案手法

• Calibration条件 φ|_V ≤ vol_V を用いて、Re(Ω′) に関するcalibratedな部分多様体として特殊ラグランジュ部分多様体を定義する。
• SU(m)対称性を用いて、ℂ^m内のcalibratedなm-平面の族を SU(m)/SO(m) として分類する。
• 領域S上の調和関数f_αに対して、実マングェ＝アンペール型方程式を解くことにより、ℂ^3におけるSL 3-フォールドを構成する。
• F: V → U ⊂ ℝ³ × ℂ となるファイブレーションを定義し、ファイバーN_αがSL 3-フォールドとなるようにする。特異ファイバーはa = 0のとき発生する。
• 特異ファイバーの位相的性質および安定性を分析し、T²-コーン型特異点が安定的かつ摂動に対して横断的であることを示す。
• 指標理論およびモジュライ空間理論を適用し、このような特異点がSL 3-フォールドのモジュライ空間においてcodimension oneを占めることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実マングェ＝アンペール方程式の解を用いて、ℂ^mにおける特殊ラグランジュ部分多様体を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 コンパクトなSL m-フォールドのモジュライ空間の構造は何か？ また、その第一ベッチ数b¹(N)とはどのように関係するか？
• RQ3 コンパクトなSL m-フォールドに現れる孤立したコーン型特異点の種類は何か？ また、微小変形に対して安定的か？
• RQ4 ℂ^3におけるSLファイブレーションは、カルラビ＝ヤウ3-多様体におけるSYZ予想の特異ファイバーをモデル化する特異ファイバーを有するように構成可能か？
• RQ5 特異SLファイブレーションのモジュライ空間におけるcodimensionは何か？ また、これは特異点の指標とどのように関係するか？

主な発見

• ℂ^m内のcalibratedなm-平面の族は、SU(m)/SO(m) に同型であり、特殊ラグランジュ構造の均一的モデルを提供する。
• 実マングェ＝アンペール方程式の解は、ℂ^3内に非コンパクトなSL 3-フォールドN_αを生成する。a ≠ 0のとき非特異であり、a = 0のときは特異（T²-コーン型）である。
• ファイブレーションF: V → U のファイバーN_αは互いに交わらず、ℝ³ × ℂ内の開集合上での連続的かつ全射的なファイブレーションを形成する。
• ファイブレーションFは、aが0を渡る際のS¹因子上のトポロジカル遷移（デーンねじり）によって、特異点そのものによるものではなく、ピecewise-smoothである。
• T²-コーン型特異ファイバーは安定的かつ横断的であり、そのモジュライ空間はSL 3-フォールド全体のモジュライ空間においてcodimension oneを占める。
• 適切に選ばれたSL 3-フォールドのトポロジーのもとで、このような特異点の指標は1であり、これが一般のほぼカルラビ＝ヤウ3-多様体における典型的なcodimension-one特異点の役割を果たすことを確認する。