[論文レビュー] Deformations of Toric Varieties via Minkowski Sum Decompositions of Polyhedral Complexes

Anvar R. Mavlyutov|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、多面体複体のミンコフスキー和分解を導入し、特異点がGorenstein端末的であるコンpaktoな単体的トーリック多様体に対して、その変形が全無限小変形空間を張ることを示す。また、Fanoトーリック多様体に対しては、Batyrev-Borisovの鏡像対称性枠組み内にその変形が実現されることを示す。

ABSTRACT

We generalized the construction of deformations of affine toric varieties of K. Altmann and our previous construction of deformations of weak Fano toric varieties to the case of arbitrary toric varieties by introducing the notion of Minkowski sum decompositions of polyhedral complexes. Our construction embeds the original toric variety into a higher dimensional toric variety where the image is given by a prime binomial complete intersection ideal in Cox homogeneous coordinates. The deformations are realized by families of complete intersections. For compact simplicial toric varieties with at worst Gorenstein terminal singularities, we show that our deformations span the infinitesimal space of deformations by Kodaira-Spencer map. For Fano toric varieties, we show that their deformations can be constructed in higher-dimensional Fano toric varieties related to the Batyrev-Borisov mirror symmetry construction.

研究の動機と目的

• アーベルトーリック多様体のためのAltmannの変形構成を、新しい組合せ的枠組みを用いて任意のトーリック多様体へ一般化すること。
• Coxの斉次座標を用いて、トーリック多様体を高次元のトーリック多様体における素の二項完全交差として埋め込むこと。
• 特異点がGorenstein端末的であるコンパクトな単体的トーリック多様体に対して、構成された変形が全無限小変形空間を張ることを示すこと。
• Gorenstein Fanoトーリック多様体の変形を、Batyrev-Borisovの鏡像対称性構成内に実現すること。
• アーモンダム変形を用いた、トーリック多様体内のCalabi-Yau完全交差の変形を統一的に理解する枠組みを提供すること。

提案手法

• 多面体複体のミンコフスキー和分解の概念を導入し、Altmannの錐切断構成の一般化とする。
• Coxの斉次座標環を用いて、トーリック多様体を高次元のトーリック多様体における完全交差として定義すること。
• FischerとShapiroに従い、混合支配行列を用いて埋め込みの定義イデアルを完全交差トーリックイデアルとして特徴付けること。
• 変形パラメータでパrameter化された、アーモンダムトーリック多様体における完全交差としての変形族を構成すること。
• コンパクトな単体的トーリック多様体に対して、変形族が全無限小変形空間を捉えていることを、Kodaira-Spencer写像を用いて確認すること。
• 双対構成に埋め込むことにより、Fanoトーリック多様体に対して、構成をBatyrev-Borisovの鏡像対称性枠組みに関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Altmannのアフィントーリック多様体のための変形構成を、統一的な組合せ的枠組みを用いて任意のトーリック多様体へ一般化できるか？
• RQ2 Gorenstein端末的特異点を持つコンパクトな単体的トーリック多様体の構成された変形が、全無限小変形空間を張るか？
• RQ3 Gorenstein Fanoトーリック多様体の変形を、Batyrev-Borisovの鏡像対称性構成内に実現できるか？
• RQ4 多面体複体のミンコフスキー和分解は、トーリック多様体の非自明な変形をパラメータ化する役割を果たすか？
• RQ5 Cox座標における完全交差イデアルは、高次元のトーリックアーモンダム空間における変形の幾何にどのように関係するか？

主な発見

• 特異点がGorenstein端末的であるコンパクトな単体的トーリック多様体に対して、構成された変形はKodaira-Spencer写像が同型であることから、全無限小変形空間を張る。
• このような多様体の変形空間の次元は、接線層のH^1コホモロジー群と一致し、例ではl(Δ) = 4およびk = 2のとき、dim H^1(X, T_X) = 6となる。
• 変形族X′_Δ → ℂ^6は、ℙ²のGorenstein Fanoトーリック多様体の正則化の全変形族である。
• Fanoトーリック多様体の変形は、高次元のFanoトーリック多様体における完全交差として実現され、Batyrev-Borisovの鏡像対称性枠組みと整合的である。
• Coxの斉次座標の使用により、定義方程式がアフィン座標で正則系列ではない場合でも非自明な変形が可能となり、Altmannの斉次変形構成が一般化される。
• 完全交差トーリックイデアルは混合支配行列によって特徴付けられ、定義二項式が正則系列をなし、イデアルが素かつ正しいcodimensionを持つことを保証する。