[論文レビュー] Degenerate flag varieties of type A: Frobenius splitting and BW theorem

Evgeny Feigin, Michael Finkelberg|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、タイプAの退化フラッグ多様体の特異点解消を、ℙ¹-ファイブレーションの塔を用いて構成し、それらがフォロービウスに分離可能であり、有理的特異点を持つことを証明する。PBW-重み付きモジュールに対するボレル＝ヴァイエルシュトラウス型定理を確立し、解消空間上でアティヤ＝ボット＝リフシュッツの公式を用いてq-特徴標数式を導出する。

ABSTRACT

Let $\Fl^a_\la$ be the PBW degeneration of the flag varieties of type $A_{n-1}$. These varieties are singular and are acted upon with the degenerate Lie group $SL_n^a$. We prove that $\Fl^a_\la$ have rational singularities, are normal and locally complete intersections, and construct a desingularization $R_\la$ of $\Fl^a_\la$. The varieties $R_\la$ can be viewed as towers of successive $\bP^1$-fibrations, thus providing an analogue of the classical Bott-Samelson-Demazure-Hansen desingularization. We prove that the varieties $R_\la$ are Frobenius split. This gives us Frobenius splitting for the degenerate flag varieties and allows to prove the Borel-Weyl type theorem for $\Fl^a_\la$. Using the Atiyah-Bott-Lefschetz formula for $R_\la$, we compute the $q$-characters of the highest weight $\msl_n$-modules.

研究の動機と目的

• タイプAの退化フラッグ多様体𝒜λaの特異点解消を、ℙ¹-ファイブレーションの塔を用いて構成すること。
• 退化フラッグ多様体が正規的であり、局所的完備交差であり、有理的特異点を持つことを証明すること。
• 有限体上での退化フラッグ多様体およびその解消空間に対するフォロービウス分離を確立すること。
• 解消空間とフォロービウス分離を用いて、PBW-重み付きモジュールVλaに対するボレル＝ヴァイエルシュトラウス型定理を証明すること。
• 解消空間Rλ上でアティヤ＝ボット＝リフシュッツの公式を適用し、Vλaのq-特徴標数式を導出すること。

提案手法

• 特定のインシデントおよび射影条件を満たす部分空間の入れ子V_{i,j}の族からなる解消空間Rλを構成すること。
• 各タプル(V_{i,j})を(V_{i,i})にマップする自然な射影πλ: Rλ → 𝒜λaを定義し、それが有理的同型であることを証明すること。
• Rλが滑らかで、連続するℙ¹-ファイブレーションであることを証明し、したがって𝔽̄p上ではフォロービウスに分離可能であることを示すこと。
• メータ＝ラマナタンの基準を用いて、Rλおよび𝒜λaが𝔽̄p上でフォロービウスに分離可能であることを示すこと。
• アティヤ＝ボット＝リフシュッツの公式を適用し、ラインバンドルπλ*𝒪(1)のオイラー特徴標数を計算し、q-特徴標数式に至ること。
• ファイブレーションの構造と接空間の重みを用いて、Rλ内の各トーラス固定点が特徴標数和に与える寄与を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプAの退化フラッグ多様体は、ℙ¹-ファイブレーションの塔によって特異点解消可能か？
• RQ2 タイプAの退化フラッグ多様体は有理的特異点を持ち、正規的かつ局所的完備交差か？
• RQ3 有限体上での退化フラッグ多様体およびその解消空間に対してフォロービウス分離が存在するか？
• RQ4 退化フラッグ多様体上でのPBW-重み付きモジュールVλaに対してボレル＝ヴァイエルシュトラウス型定理が成り立つか？
• RQ5 解消空間Rλ上でアティヤ＝ボット＝リフシュッツの公式を用いて、Vλaのq-特徴標数を計算可能か？

主な発見

• 解消空間Rλは、滑らかで、連結な多様体であり、退化フラッグ多様体𝒜λa上への連続するℙ¹-ファイブレーションの塔である。
• 退化フラッグ多様体𝒜λaは正規的であり、局所的完備交差であるため、Cohen-MacaulayかつGorensteinである。
• Rλおよび𝒜λaは𝔽̄p上でフォロービウスに分離可能であり、これによりℂ上では𝒜λaが有理的特異点を持つことが従う。
• ボレル＝ヴァイエルシュトラウス定理は退化フラッグ多様体において成り立つ：H⁰(𝒜λa, 𝒪(1))はPBW-重み付きモジュールVλaの双対と同型であり、高次コホモロジーは消える。
• Vλaのq-特徴標数は、Rλ内に存在する2^{dim 𝔫}個のトーラス固定点の和として与えられ、各項の寄与は固定点における接空間の重みによって決定される。
• n=2の場合、特徴標数式はch_q V_{mω} = z^m + qz^{m-2} + ⋯ + q^m z^{-m}と与えられ、期待される形と一致する。