[論文レビュー] Derived division functors and mapping spaces

Benoît Fresse|ArXiv.org|Aug 12, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バラー・エクルス作用素に基づく $E_∞$-代数に対して、導来除法関手を構成する。これは、正規化コチェーン複体 $N^*(Y)$ を正規化チェーン複体 $N_*(X)$ で除法したものの導来を、写像空間 $ olinebreak ext{Map}(X,Y)$ の正規化コチェーン複体と準同型にする。この構成はラネスの $T$-関手を $E_\infty$-代数へ一般化し、$E_\infty$-構造を通じて写像空間の函手的モデルを確立する。

ABSTRACT

The normalized cochain complex of a simplicial set N^*(Y) is endowed with the structure of an E_{infinity} algebra. More specifically, we prove in a previous article that N^*(Y) is an algebra over the Barratt-Eccles operad. According to M. Mandell, under reasonable completeness assumptions, this algebra structure determines the homotopy type of Y. In this article, we construct a model of the mapping space Map(X,Y). For that purpose, we extend the formalism of Lannes' T functor in the framework of E_{infinity} algebras. Precisely, in the category of algebras over the Barratt-Eccles operad, we have a division functor -oslash N_(X) which is left adjoint to the functor Hom_F(N_*(X),-). We prove that the associated left derived functor -oslash^L N_*(X) is endowed with a quasi-isomorphism N^*(Y) oslash^L N_*(X) --> N^* Map(X,Y).

研究の動機と目的

• バラー・エクルス作用素に基づく $E_\infty$-代数の文脈に、ラネスの $T$-関手形式を拡張すること。
• 写像空間 $\operatorname{Map}(X,Y)$ のコチェーン複体をモデル化する導来除法関手 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ を構成すること。
• 単体的集合 $X$ および $Y$ に対して、函手的準同型写像 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \xrightarrow{\sim} N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ を確立すること。
• 古典的アイレンバーグ＝ジルバーマップが $E_\infty$-構造と整合しない問題を解消するため、$E_\infty$-代数構造と整合するホモトピー的アイレンバーグ＝ジルバーマップを構成すること。

提案手法

• バラー・エクルス作用素の代数の圏におけるクーラント解体を用いて、左導来関手 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ を定義する。
• $E_\infty$-代数の圏において、$\operatorname{Hom}_{\mathbf{F}}(N_*(X), -)$ に左随伴である除法関手 $- \oslash N_*(X)$ を適用する。
• 単体上の函手性を介して、自然な準同型写像 $F_{X\times Y} \to N^*(X) \widehat{\otimes} N^*(Y)$ を構成し、ホモトピー的アイレンバーグ＝ジルバーマップを導く。
• ポストニコフ塔に関する帰納法を用いて、$Y = K(\mathbb{Z}/2,n)$ の場合に、写像 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \to N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ が準同型であることを証明する。
• 面および退化写像に関する図式の可換性を検証することで、$X$ および $Y$ の両方に関して函手的であることを保証する。
• dgモジュールの対称モノイダル構造および $\operatorname{Hom}$-複体における微分の次数交換法則を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像空間 $\operatorname{Map}(X,Y)$ は、$E_\infty$-代数の圏における導来関手を用いて代数的にモデル化可能か？
• RQ2 古典的アイレンバーグ＝ジルバーマップ $N^*(X \times Y) \to N^*(X) \otimes N^*(Y)$ は、$N^*(X) \otimes N^*(Y)$ 上の $E_\infty$-代数構造と整合しないが、どのように修正すれば整合性が回復するか？
• RQ3 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \xrightarrow{\sim} N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ が準同型写像として成立するような導来除法関手 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ が存在するか？
• RQ4 導来除法関手の構成は、$X$ および $Y$ の両方に関して函手的であるか？
• RQ5 アイレンバーグ＝マクレイン空間から一般の単体的集合へ、ポストニコフ塔に関する帰納法を用いてモデルを拡張可能か？

主な発見

• 導来除法関手 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ は $N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ に準同型であり、写像空間の完全な代数的モデルを提供する。
• この構成により、$X$ および $Y$ の両方の射に関して関手的である準同型写像 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \to N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ が得られ、その整合性が保証される。
• $Y = K(\mathbb{Z}/2,n)$ の場合、準同型写像は直接的に確立され、ポストニコフ塔に関する帰納的議論の基本ケースを形成する。
• アイレンバーグ＝ジルバーマップ $N^*(X \times Y) \to N^*(X) \otimes N^*(Y)$ は $E_\infty$-構造と整合しないが、ホモトピー的バージョンが構成され、整合性が回復される。
• 左導来関手 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ は適切に定義されており、$X = S^1$ の場合にループ空間をモデル化する。$\Omega Y$ は $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L \tilde{N}_*(S^1)$ として回復される。
• 全構成は函手的であり、dgモジュールの対称モノイダル構造を尊重しており、単体的およびチェーンレベルのデータ間の整合性が保証される。