[論文レビュー] Derived equivalence and Grothendieck ring of varieties: the case of K3 surfaces of degree 12 and abelian varieties

Atsushi Ito, Makoto Miura+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、導来同値な多様体が、Lefschetz類 L = [A¹] のあるべき上での代数的コホーモロジー環における同一類をもつのかを検討する。12次の非常に一般のK3多様体に対しては、[X] − [Y] が L のあるべきで消えることを証明し、この場合にその予想を肯定的に支持する。一方、次元 >1 のアーベル多様体に対しては、[X] − [Y] が L のいかなるべきでも消えない反例を構成し、一般問題に対して否定的な答えを与える。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the problem of whether the difference $[X]-[Y]$ of the classes of a Fourier--Mukai pair $(X, Y)$ of smooth projective varieties in the Grothendieck ring of varieties is annihilated by some power of the class $\mathbb{L} = [ \mathbb{A}^1 ]$ of the affine line. We give an affirmative answer for Fourier--Mukai pairs of very general K3 surfaces of degree 12. On the other hand, we prove that in each dimension greater than one, there exists an abelian variety such that the difference with its dual is not annihilated by any power of $\mathbb{L}$, thereby giving a negative answer to the problem. We also discuss variations of the problem.

研究の動機と目的

• 導来同値（Fourier–Mukai）な多様体 X, Y の差 [X] − [Y] が、代数的多様体のGrothendieck環においてLefschetz類 L のあるべきで消えるかどうかを特定すること。
• 代数閉体上での12次K3多様体およびアーベル多様体の文脈において、問題1.2の妥当性を調査すること。
• 特に、導来同値の下でのチャウモチーフおよび数的モチーフの振る舞いを含む、問題の変種を探索すること。
• 導来同値な多様体が、特にアーベル多様体およびK3多様体の文脈において、同型なチャウモチーフまたは数的モチーフを持つのかどうかを検討すること。

提案手法

• 12次K3多様体の導来カテゴリカル同値性を、直交グラスマンニアン OG(5,10) における実現を通じて分析し、射影双対性および導来同値性の技法を用いる。
• モチービック統合理論およびHochschild–Kostant–Rosenberg同型を用いて、導来不変量とホッジ数、Grothendieck環クラスとの関係を確立する。
• Gillet–Souléのモチービック測度 µGS: K₀(Var/k)[L⁻¹] → K₀(CMₖ) を用い、Grothendieck環内のクラスとチャウモチーフとの関係を確立する。
• 高次元アーベル多様体において、[A] − [bA] が L のいかなるべきでも消えないことを示すことで、明示的な反例を構成し、チャウモチーフの同一性の不変性を活用する。
• Grothendieck環における生成関数とパワー構造を用いて、多様体の対称積のモチーフを比較する。
• Orlovの定理（アーベル多様体の導来同値性が同一型を意味すること）を、生成関数およびTateねじれを用いて対称積へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fourier–Mukai対 (X,Y) の差 [X] − [Y] が、L のあるべきで乗算した後に、局所化されたGrothendieck環 K₀(Var/k)[L⁻¹] で消えるか？
• RQ2 12次K3多様体として導来同値な多様体 X, Y に対して、[X] − [Y] が L のあるべきで消えるか？
• RQ3 次元 >1 の導来同値アーベル多様体 X, Y に対して、K₀(Var/k)[L⁻¹] で [X] − [Y] = 0 を満たすか？
• RQ4 導来同値な多様体は、Grothendieck環のモチーフにおいて同型なチャウモチーフまたは数的モチーフを持つのか？
• RQ5 モチービック測度 µGS は、導来同値な多様体を K₀(CMₖ) 内の同型モチーフへ写像するか？

主な発見

• 非常に一般の12次K3多様体に対して、[X] − [Y] が L のあるべきで消えることが示され、この場合に問題1.2に対して肯定的解答が得られる。
• 1より大きい任意の次元において、[A] − [bA] が L のいかなるべきでも消えないようなアーベル多様体 A が存在する。これは、問題1.2に対して否定的解答を与える。
• 反例は、同型なアーベル多様体が同じチャウモチーフを持つが、K₀(Var/k)[L⁻¹] 内ではそれらのクラスが非自明に異なるという事実に依拠している。
• 任意のD同値な複素アーベル曲面 A と B に対して、すべての正の整数 n に対して、[h(A[n])] と [h(B[n])] が K₀(CMₖ) 内で等しいことが証明された。
• モチービック測度 µGS は多様体のクラスをそのチャウモチーフへ写像し、この写像はパワー構造を保存するため、生成関数の比較が可能になる。
• D同値なアーベル曲面およびその対称積に対して、生成関数およびTateねじれを用いて、K₀(CMₖ) 内で [h(X)] = [h(Y)] が成り立つことが示された。