[論文レビュー] Design of convergence criterion for fixed stress split iterative scheme for small strain anisotropic poroelastoplasticity coupled with single phase flow

Saumik Dana, Mary F. Wheeler|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 30被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、小歪み異方性ポテンシオ弾塑性理論と単相流を組み合わせた固定応力分割反復スキームの収束基準を、収縮写像理論を適用することで厳密に導出する。この基準により、主要な残差項を最小化することで収束を保証し、地盤工学および多孔質媒体応用分野における流れと変形のカップリング問題の安定的かつ効率的なステガード解法を可能にする。

ABSTRACT

We arrive at convergence criterion for the fixed stress split iterative scheme for single phase flow coupled with small strain anisotropic poroelastoplasticity. The analysis is based on studying the equations satisfied by the difference of iterates to show that the iterative scheme is contractive. The contractivity is based on driving a term to as small a value as possible (ideally zero). This condition is rendered as the convergence criterion of the algorithm.

研究の動機と目的

• 多孔質材料における流れと変形のカップリング問題に対するステガード反復スキームにおける収束基準の欠如を解消すること。
• 小歪み異方性ポテンシオ弾塑性理論における固定応力分割アルゴリズムの数学的に厳密な収束基準を開発すること。
• 単相流を伴う異方性ポテンシオ弾性および弾塑性設定へ、収縮写像理論を等方的状態から拡張すること。
• 反復更新における残差項を応力固定点の制約によって制御することで、アルゴリズムの安定性を確保すること。
• 自作アルゴリズムをモジュラーフォームのオープンソース有限要素フレームワークに統合するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 固定応力分割スキームにおける連続する反復解の差を分析するために収縮写像理論を用いる。
• 反復更新における残差項を最小化することで収束基準を導出する。理想としては、これをゼロに近づけること。
• 固定応力分割アルゴリズムを適用：固定された応力テンソルで流れのサブプロブレムを解き、その後更新された応力を用いてポテンシオ弾性力学のサブプロブレムを解く。
• 時間積分法に後退オイラー法を採用し、流れおよびポテンシオ弾性力学方程式の変分形式を用いる。
• 直前の反復で得られた固定応力を組み込んだ修正された質量保存方程式を導入する。
• 外力境界条件および対称応力テンソルの制約を含む運動量保存の弱形式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異方性ポテンシオ弾塑性理論における固定応力分割スキームの収束基準をどのように数学的に厳密に導出できるか？
• RQ2 流れと変形のカップリング問題に対するステガード反復スキームにおいて、収縮写像性を保証する条件は何か？
• RQ3 流れの解法中に応力テンソルを固定することで、収束特性および弾塑性ひずみの進化にどのような影響を与えるか？
• RQ4 収縮写像フレームワークを等方的状態から異方性ポテンシオ弾性および弾塑性材料へ拡張可能か？
• RQ5 反復更新における残差項が収束性を決定づける役割を果たすメカニズムは何か？

主な発見

• 収束基準は反復更新における残差項を最小化することで導出され、スキームが収縮的であることを保証する。
• 残差項がゼロに近づくと、固定応力分割アルゴリズムは収縮的であり続け、収束が保証される。
• 塑性ひずみは、応力テンソルが固定されており、降伏関数が非正のまま維持されるため、流れの解法中に変化しない。
• 導出された基準により、単相流と異方性ポテンシオ弾塑性理論のカップリング解析において安定性と収束性が保証される。
• 数学的に妥当な収束ノルムを提供するため、モジュラーファイニットエレメントフレームワークへの強固な実装が可能になる。
• 本手法により、従来の等方的状態における収縮写像の結果が、異方的および弾塑性状態へ一般化される。