[論文レビュー] Detecting orbits along subvarieties via the moment map

Michael Jablonski|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$G$ が $W$ 沿いに $H$-検出可能であるとき、$G$-軌道と部分多様体 $W$ の交わりを、作用のモーメント写像を用いて検出する手法を導入する。その結果、このような交わりは $H_0$-軌道の有限個の和集合であることが示される。主な結果として、$G\cdot w \cap W$ が有限個の $H$-軌道から成ることを確立し、ノルムの二乗のモーメント写像の臨界点としての性質を用いて、ノンアーベル群のノンアーベル軌道や、ノンアーベル幾何におけるリッチソリトン計量への応用が可能になる。

ABSTRACT

Let G be a (real or complex) linear reductive algebraic group acting on an affine variety V. Let W be a subvariety. In this work we study how the G-orbits intersect W. We develop a criterion to determine when the intersection can be described as a finite union of orbits of a reductive subgroup. The conditions of the criterion are easily verified in practice and are used to construct continuous families of (non-isomorphic) nilpotent Lie groups which do not admit left-invariant Ricci soliton metrics. Other applications to the left-invariant geometry of Lie groups are also given. The note finishes by applying our techniques to the adjoint representation. The classical result of finiteness of nilpotent orbits is reproven and it is shown that each of these orbits contains a critical point of the norm squared of the moment map.

研究の動機と目的

• 代数的多様体 $V$ 上に再帰的作用する $G$ が与えられ、$W$ が $G$-不変でないとき、$G$-軌道と $W$ の交わりの構造を特定すること。
• モーメント写像を用いた作用の解析を通じて、$G$-軌道と $W$ の交わりのモジュライを理解すること。
• $G$-作用が $W$ 沿いに $H$-検出可能であるような条件を確立し、$G\cdot w \cap W$ が有限個の $H$-軌道に分解されることを示すこと。ここで $H$ は $G$-作用の $W$ 沿いの測定に用いられる再帰的部分群である。
• この理論を、特にノンアーベルリー群における左不変リッチソリトン計量の存在性というノンアーベル幾何の問題に応用すること。
• モーメント写像の技法を用いて、半単純リー代数におけるノンアーベル軌道の有限性を再証明し、すべての軌道が区別可能であることを示すこと。

提案手法

• すべての $w \in W$ に対してモーメント写像 $m_G(w) \in \mathfrak{h}$ が成り立つとき、$G$ を $W$ 沿いに $H$-検出可能であると定義する。これにより $G$-作用と部分群 $H$ が結びつけられる。
• リー代数 $\mathfrak{g}$ 上の $K$-不変内積に伴うモーメント写像 $m_G$ を用いる。これはカルタン対合と整合性を持つように保証される。
• モストウの定理を用いて、$G$ と $H$ の両方に適合するカルタン分解を保証し、内積の $K$-不変性を同時に満たすようにする。
• $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ におけるモーメント写像の公式 $m(X) = -[X, \theta(X)]$ を用いて臨界点を計算し、区別可能な軌道を検証する。
• $G$-軌道がノルム・コーン上にあるとき、それらは $\mathfrak{g}$ 沿いに $G$-検出可能であるという事実を活用し、問題を有限軌道分解に還元する。
• スケーリングが軌道構造を保つこと（$cX \in G\cdot X$）を用いて、単純リー群に還元し、$SL_n(\mathbb{C})$ に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 いつ $G\cdot w \cap W$ が有限個の $H$-軌道の和集合として記述可能になるか？
• RQ2 半単純リー代数におけるノンアーベル軌道が、モーメント写像のノルムの二乗の臨界点を含むとき、すなわち「区別可能」であるとは、どのような条件か？
• RQ3 $G$-作用が $W$ 沿いに $H$-検出可能であることは、$G\cdot w \cap W$ の軌道構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 分類の前提なしに、モーメント写像の技法を用いて、$\mathfrak{g}$ 内のノンアーベル軌道の有限性を証明できるか？
• RQ5 ノンアーベルリー群における左不変リッチソリトン計量の存在性とその正規部分群との関係は何か？

主な発見

• 主な結果、定理2.1では、$G$ が $W$ 沿いに $H$-検出可能であるならば、$G\cdot w \cap W$ は $H_0$-軌道の有限個の和集合であることが証明される。
• 本稿では、$\mathfrak{g}$ 内のすべてのノンアーベル軌道が解析的に区別可能であることを示しており、これはモーメント写像のノルムの二乗の臨界点を含むことを意味する。
• $SL_n(\mathbb{C})$ において、主なノンアーベル軌道は区別可能であり、この性質はジョルダン標準形分解によりすべてのノンアーベル軌道に拡張可能である。
• この定理は、$SL_n(\mathbb{C})$ への埋め込みを用いて、すべての半単純群に拡張可能である。これは、$\mathfrak{p}$ 上の $K$-不変内積がスケーリングを除き一意的であることに依拠する。
• ノンアーベル群 $N = N_1N_2$ に左不変リッチソリトン計量が存在することは、$N_1$ および $N_2$ にそれぞれ存在することと同値である。これは定理3.5で示されている。
• $G$-ノルム・コーン内の $G$-軌道の数は有限である。これは、$SL_n(\mathbb{C})$-軌道がノルム・コーン上で有限であり、$G$-軌道がそれらに含まれるためである。