[論文レビュー] Determining equations of families of cyclic curves

R. Sanjeewa, Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、奇数の特性を持つ代数的に閉じた体上での巡回代数的曲線の族のパラメトリック方程式を、縮約された自己同型群 $\bar{G}$ と固定体を生成する有理関数 $\phi(x)$ を用いて決定する。主な貢献は、$A_5$、$S_4$、$A_4$、$D_{2m}$、$C_m$、および $PSL(2,q)$、$PGL(2,q)$、$K_m$ のような群を含む、各可能な $\bar{G}$ に対する方程式の完全な分類であり、分岐シグネチャーやハーウィッツ空間次元の公式から導かれる明示的な形が得られている。

ABSTRACT

In previous work we determined automorphism groups of cyclic algebraic curves defined over fields of any odd characteristic. In this paper we determine parametric equations of families of curves for each automorphism group for such curves.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた奇数の特性を持つ体上での、 genus $g \geq 2$ の巡回代数的曲線の自己同型群 $G$ のすべての可能なものを分類すること。
• $w$ が巡回正規部分群を生成するとき、$\bar{G} = G / \langle w \rangle$ を用いて、そのような曲線族に対応するパラメトリック方程式を決定すること。
• 固定体 $k(x)^{\bar{G}}$ を生成する有理関数 $\phi(x)$ を構成し、分岐シグネチャーとハーウィッツ空間次元の公式を用いて、各族の明示的方程式を提供すること。
• 対称多項式および $\bar{G}$ に関連する不変量を用いて、すべての可能な方程式を体系的に列挙すること。$A_5$、$S_4$、$A_4$、$D_{2m}$、$C_m$、および $PSL(2,q)$ や $PGL(2,q)$ のような古典的群を含む。

提案手法

• 方法は、$\bar{G} \leq PGL_2(k)$ である縮約された自己同型群を特定することから始まり、$k(x)$ 上の有理関数体に作用し、固定体 $k(x)^{\bar{G}}$ を生成する有理関数 $\phi(x)$ を特定する。
• リーマン＝ハーウィッツの公式を用いて、被覆 $\mathcal{X}_g \to \mathbb{P}^1$ の分岐シグネチャー $\sigma$ を計算し、ハーウィッツ空間 $\mathcal{H}(G,\sigma)$ の次元 $\delta$ を導出する。
• 曲線 $\mathcal{X}_g$ は $y^n = F(x)$ の形に表現され、$F(x)$ は被覆の分岐点から構成され、$F(x)$ の形は $\bar{G}$ と分岐点の数 $\delta$ に依存する。
• 各 $\bar{G}$ に対して、$F(x)$ を対称多項式または特別な不変量の積として構成する。例えば、$D_{2m}$ の場合は $F(x) = \prod_{i=1}^\delta (x^{2m} + \lambda_i x^m + 1)$、$PSL(2,q)$ の場合は $F(x) = \prod_{i=1}^\delta ((x^q - x)^{q-1} + 1 - \lambda_i (x^q - x)^{q(q-1)/2})$ となる。
• 方程式は係数 $\lambda_i$ でパラメータ化され、45個の異なるケースに分類され、表6にリストアップされている。各ケースは特定の $\bar{G}$ と $\delta$ に対応し、$M(x)$、$\Lambda(x)$、$Q(x)$、$B(x)$、$\Delta(x)$、$\Omega(x)$ の明示的形が与えられている。
• 構成により、得られる曲線は genus $g \geq 2$、自己同型群 $G$ を持ち、$G$ は $C_n$ を正規巡回部分群として含み、商曲線は genus 0 であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的に閉じた奇数の特性を持つ体上での、genus $g \geq 2$ の巡回代数的曲線の自己同型群 $G$ の可能性は何か？ また、$\bar{G} = G / \langle w \rangle$ を用いた分解はどのように行われるか？
• RQ2 各 $\bar{G}$ に対して、曲線 $\mathcal{X}_g$ のパラメトリック方程式 $y^n = F(x)$ は何か？ そして、$F(x)$ の係数はどのように決定されるか？
• RQ3 分岐シグネチャー $\sigma$ とハーウィッツ空間 $\mathcal{H}(G,\sigma)$ の次元 $\delta$ は、$F(x)$ の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 例外的な群 $A_5$、$S_4$、$A_4$、$PSL(2,q)$、$PGL(2,q)$、$K_m$ の場合の $F(x)$ の明示的形は何か？ それらは $D_{2m}$ および $C_m$ の場合とどのように異なるか？
• RQ5 固定体 $k(x)^{\bar{G}}$ を生成する有理関数 $\phi(x)$ は、モノドロミーと分岐点から曲線の完全な方程式を再構成するためにどのように用いることができるか？

主な発見

• 本論文は、45個の異なるケースが表6にリストアップされた、巡回曲線族のパラメトリック方程式の完全な分類を提供している。各ケースは特定の縮約自己同型群 $\bar{G}$ に対応する。
• $\bar{G} \cong A_5$ の場合、方程式は $y^n = Q(x) \cdot \Lambda(x)$ であり、$Q(x) = x^{30} + 522x^{25} - 10005x^{20} - 10005x^{10} - 522x^5 + 1$、$\Lambda(x)$ は表6で定義されたパrameter $\lambda_i$ に依存する $x$ に関する60次多項式である。
• $\bar{G} \cong PSL(2,q)$ の場合、方程式は $y^n = ((x^q - x)^{q-1} + 1)^{\frac{q+1}{2}} - \lambda_i (x^q - x)^{\frac{q(q-1)}{2}}$ であり、$\Delta(x)$ は $\delta$ 個のこのような項の積である。
• $\bar{G} \cong PGL(2,q)$ の場合、方程式は $y^n = ((x^q - x)^{q-1} + 1)^{q+1} - \lambda_i (x^q - x)^{q(q-1)}$ であり、$\Omega(x)$ は $\delta$ 個の項の積である。
• $\bar{G} \cong K_m$ の場合、方程式は $y^n = x \cdot \prod_{j=1}^{(p^t - 1)/m} (x^m - b_j) \cdot \Theta(x)$ であり、$\Theta(x)$ は $H_t$ からの加法的特徴から得られる $\delta$ 個の項の積である。
• 各ケースについて、リーマン＝ハーウィッツの公式を用いて、モジュライ局相 $\mathcal{H}(G,\sigma)$ の次元 $\delta$ が明示的に計算されており、パrameter の数 $\lambda_i$ が $\delta$ と一致することから、一般に $\delta$ 次元の族であることが保証されている。