[论文解读] Diamantine Picard functors of rigid spaces

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文证明了关于一个完美oid域扩张 $\mathbb{Q}_p$ 上的连通光滑射影刚性空间，其平展对偶菱形Picard函子是经典刚性解析Picard函子的diamondification。本文证明了刚性Picard函子的表示性蕴含其对偶菱形对应物的表示性，并引入了一个与乘法Hodge–Tate序列相关的 $v$-Picard函子，从而为 $p$-adic Simpson对应关系提供了新的模形式视角。

ABSTRACT

For a connected smooth proper rigid space $X$ over a perfectoid field extension of $\mathbb Q_p$, we show that the étale Picard functor of $X$ defined on perfectoid test objects is the diamondification of the rigid analytic Picard functor. In particular, it is represented by a rigid analytic group variety if and only if the rigid analytic Picard functor is. Second, we study the $v$-Picard functor that parametrises line bundles in the finer $v$-topology on the diamond associated to $X$ and relate this to the rigid analytic Picard functor by a geometrisation of the multiplicative Hodge--Tate sequence. The motivation is an application to the $p$-adic Simpson correspondence, namely our results pave the way towards the first instance of a new moduli theoretic perspective.

研究动机与目标

• 将Picard函子理论从刚性解析几何推广到完美oid空间与diamonds的更大范畴。
• 阐明平展对偶菱形Picard函子与经典刚性解析Picard函子之间的关系。
• 在diamonds上引入并研究 $v$-Picard函子，并通过乘法Hodge–Tate序列将其与刚性解析Picard函子联系起来。
• 为基于模形式方法研究 $p$-adic Simpson对应关系奠定基础。

提出的方法

• 将平展对偶菱形Picard函子定义为沿完美oid空间 $X$ 的diamondification $\pi^{\diamondsuit}$ 的 $\mathbb{G}_m$ 的 $R^1$ 推前。
• 即使在不假设表示性的情况下，也建立刚性解析Picard函子的diamondification与平展对偶菱形Picard函子之间的自然同构。
• 将 $v$-Picard函子定义为将完美oid检验空间映射到 $X \times Y$ 上 $v$-线丛同构类的函子的 $v$-sheafification，并将其与刚性解析Picard函子联系起来。
• 通过乘法Hodge–Tate序列的几何化，将 $v$-Picard函子与平展对偶菱形Picard函子联系起来。
• 利用阿贝尔簇的对偶理论，证明对偶菱形Picard函子的平移不变部分由对偶阿贝尔簇的diamondification表示。
• 运用Banach模上同调与 $\varpi$-进完备性的技术，分析上同调复形中的挠性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完美oid域上的光滑射影刚性空间上，平展对偶菱形Picard函子与经典刚性解析Picard函子之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，平展对偶菱形Picard函子可由diamond表示？
• RQ3 $v$-Picard函子在与刚性空间相关的diamonds上的线丛背景下起什么作用？
• RQ4 乘法Hodge–Tate序列如何几何地将 $v$-Picard函子与刚性解析Picard函子联系起来？
• RQ5 对偶菱形Picard函子能否为 $p$-adic Simpson对应关系提供新的模形式框架？

主要发现

• 即使经典刚性解析Picard函子不表示，平展对偶菱形Picard函子 $\mathbf{Pic}^{\diamond}_{X,\acute{e}t}$ 也自然同构于刚性解析Picard函子 $\mathbf{Pic}_{X,\acute{e}t}$ 的diamondification。
• 若刚性解析Picard函子由刚性空间表示，则其diamondification也表示平展对偶菱形Picard函子。
• 对任意关于 $K$ 的完美oid空间 $Y$，若假设射影性，则 $X \times Y$ 上沿截面 $x \times Y$ 平坦的线丛同构类与 $Y \to \mathbf{Pic}_{X,\acute{e}t}$ 的 $K$-有理映射之间存在双射。
• $v$-Picard函子 $\mathbf{Pic}^{\diamond}_{X,v}$ 通过乘法Hodge–Tate序列的几何化与刚性解析Picard函子相关联。
• 对阿贝尔簇 $A$，对偶菱形Picard函子 $\mathbf{Pic}^{\diamond\tau}_{A,\acute{e}t}$ 的平移不变部分由对偶阿贝尔簇 $A^\vee$ 的diamondification 表示，即 $A^{\vee\diamondsuit}$。
• 对 $\varpi$-进完备复形的上同调分析表明，当在 $\varpi$ 处取逆后上同调有限维，则 $H^n(C^\bullet)$ 具有有界 $\varpi$-挠，从而支持关键的表示性论证。