[论文解读] Pro-étale uniformisation of abelian varieties

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|May 26, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过完美oid覆盖，建立了非阿基米德域上阿贝尔簇的pro-étale统一化，表明pro-étale通用覆盖 $\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ 在 $p$-进族中是局部常数的。关键结果是所有阿贝尔簇均可统一地统一化为 $A^\diamondsuit = \u0377{A}/T_pA$，且覆盖之间的同构由 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上半稳定约化所属的同源类决定，从而在所有约化类型下提供了强大而统一的框架。

ABSTRACT

For an abelian variety $A$ over an algebraically closed non-archimedean field $K$ of residue characteristic $p$, we show that the isomorphism class of the pro-étale perfectoid cover $\widetilde A=\varprojlim_{[p]}A$ is locally constant as $A$ varies $p$-adically in the moduli space. This gives rise to a pro-étale uniformisation of abelian varieties as diamonds \[A^\diamond=\widetilde A/T_pA\] that works uniformly for all $A$ without any assumptions on the reduction of $A$. More generally, we determine all morphisms between pro-finite-étale covers of abeloid varieties. For example, over $\mathbb C_p$, all abeloids can be uniformised in terms of universal covers that only depend on the isogeny class of the semi-stable reduction over $\bar{\mathbb F}_p$.

研究动机与目标

• 开发一种适用于所有约化类型的非阿基米德域上阿贝尔簇的统一pro-étale统一化方法。
• 证明pro-étale完美oid覆盖 $\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ 在阿贝尔簇的 $p$-进族中是局部常数的。
• 确定阿贝尔簇的pro-有限-étale覆盖之间的所有态射，特别是基于其半稳定约化。
• 建立一个钻石统一化 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$，该结构同时推广了复分析与刚性分析中的统一化。

提出的方法

• 将pro-étale通用覆盖 $\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ 视为一个完美oid空间，其 $\underline{\mathbb{Z}}_p$-系数的高阶上同调为零。
• 利用 $\widetilde{A}$ 的拓扑通用性质，满足 $H^i_v(\widetilde{A}, \underline{\mathbb{Z}}_p) = 0$ 对于 $i > 0$，从而定义统一化为 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$。
• 应用钻石理论与 $v$-层理论，将 $A$ 和 $\widetilde{A}$ 视为 $v$-层，以实现下降与同构定理。
• 使用Breen–Deligne谱序列与导出 $p$-完备性来计算Ext群，并证明上同调的消去结果。
• 通过 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的半稳定约化 $\overline{B}$ 的同源类来刻画通用覆盖之间的同构。
• 通过证明覆盖 $\widetilde{A}$ 仅依赖于半稳定约化的同源类，为所有阿贝尔簇建立统一结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设良好或半稳定约化的情况下，为非阿基米德域上的阿贝尔簇构造一个统一的pro-étale统一化？
• RQ2 阿贝尔簇的pro-有限-étale覆盖之间的同构如何依赖于其约化类型？
• RQ3 pro-étale通用覆盖 $\widetilde{A}$ 是否在阿贝尔簇的 $p$-进族中是局部常数的？
• RQ4 能否使钻石统一化 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$ 独立于 $A$ 的具体约化类型？
• RQ5 阿贝尔簇的pro-有限-étale覆盖之间的态射结构，如何通过其Tate模与半稳定约化来刻画？

主要发现

• 当 $A$ 在阿贝尔簇的模空间中 $p$-进变化时，pro-étale通用覆盖 $\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ 是局部常数的。
• 所有定义在 $K = \mathbb{C}_p$ 或 $\mathbb{C}_p^\flat$ 上的阿贝尔簇均能通过同一完美oid覆盖实现统一的钻石统一化 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$，且该统一化与约化类型无关。
• 通用覆盖 $\widetilde{A}$ 与 $\widetilde{A}'$ 之间的同构由 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的半稳定约化 $\overline{B}$ 与 $\overline{B}'$ 的同源类决定。
• 阿德尔覆盖 $\widetilde{A}^{\mathrm{ad}} = \varprojlim_N A$ 提供了一个通用的pro-有限-étale覆盖，其对应的统一化形式为 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}^{\mathrm{ad}}/TA$。
• 对任意阿贝尔簇 $A$，有 $H^i_v(\widetilde{A}, \underline{\mathbb{Z}}_p) = 0$ 对于 $i > 0$，确认了其在 $v$-拓扑下的拓扑单连通性。
• pro-有限-étale覆盖之间的态射完全由半稳定约化的同源类控制，与具体阿贝尔簇无关。