[論文レビュー] Diameters of Chevalley groups over local rings

Oren Dinai|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、有限局所環上のChevalley群の直径に対して明示的な多項式的上限を確立し、任意の生成集合 $S$ に対して、群の任意の元が $S \cup S^{-1}$ の要素の高々 $C n^d$ 個の積として表現可能であることを示している。ここで $C$ と $d$ は群のランクと素数 $p$ のみに依存する。証明はLie理論的交換子分解と、Solovay-Kitaev法にインspiredされた有効な再帰的アルゴリズムを組み合わせており、任意の元に対して短い群語を計算する効率的なアルゴリズムをもたらす。

ABSTRACT

Let G be a Chevalley group scheme of rank l. We show that the following holds for some absolute constant d>0 and two functions p_0=p_0(l) and C=C(l,p). Let p>p_0 be a prime number and let G_n:=G(\Z/p^n\Z) be the family of finite groups for n>0. Then for any n>0 and any subset S which generates G_n we have diam(G_n,S)< C n^d, i.e., any element of G_n is a product of Cn^d elements from S\cup S^{-1}. In particular, for some C'=C'(l,p) and for any n>0 we have, diam(G_n,S)< C' log^d(|G_n|). Our proof is elementary and effective, in the sense that the constant d and the functions p_0(l) and C(l,p) are calculated explicitly. Moreover, there exists an efficient algorithm to compute a short path between any two vertices in any Cayley graph of the groups G_n.

研究の動機と目的

• すべての $n \geq 1$ およびランクに対して十分大きな素数 $p$ に対して、Chevalley群 $G_n = G(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ の直径に対して明示的かつ有効な上界を確立すること。
• 任意の生成集合に関して、$G_n$ のCayleyグラフにおいて任意の群元を表す短い語を効果的に計算するアルゴリズム的手法を提供すること。
• Solovay-Kitaev法を、局所環上のChevalley群の設定に一般化し、Lie代数の交換子構造と $p$-進群のレイヤー構造を用いること。
• 明示的定数 $C$ と $d$ を用いた $\mathrm{diam}(G_n, S) \leq C n^d$ の形の上限を達成し、さらに $\mathrm{diam}(G_n) \leq C' \log^d |G_n|$ を示すことで、この群のクラスに対するBabai予想の定量的版を提供すること。

提案手法

• $\Gamma_0 = G(\mathbb{Z}_p)$ の $p$-進Lie群構造を用い、$\Gamma_n = \ker(\pi_n)$ と $\Delta_n = \Gamma_n / \Gamma_{n+1}$ の層に分解する。これらは指数写像を介してLie代数 $L_0$ に同型である。
• $\Gamma_n = \exp(p^n L_0)$ を示し、群論的問題を $\mathbb{Z}_p$ 上のLie代数問題に翻訳可能にする。
• 主要な技術的道具は、Chevalley基底と $r$-強く完全なLie代数の概念を用いた、Lie代数の要素を高々4つの交換子の和に分解すること。
• 層 $\Delta_n$ を通じた語長の成長を分析することにより、直径を再帰的に評価する。交換子語は低い層から高い層へ持ち上げ可能であるという事実を用いる。
• Solovay-Kitaevスタイルの再帰を用いて有効なアルゴリズムを構築する：$g$ を $\Gamma_n$ で modulo 分解し、交換子持ち上げを用いて上に持ち上げ、より小さい層で再帰的に処理する。
• アルゴリズムは語長が $C n^d$ のように増加することを保証し、$d$ は2よりわずかに大きい値に近づき、$G_n$ の任意の群元へへの構成的経路を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \geq 1$ に対して、Chevalley群 $G(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ の最良の明示的多項式的上限は何か？
• RQ2 任意の生成集合に関して、$G(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ のCayleyグラフにおいて任意の群元を表す短い語を計算する有効かつ構成的なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 関連するChevalley群のLie代数構造は、局所環上での群の直径をどのように制御するか？
• RQ4 Solovay-Kitaev法は、非コンパクトで $p$-進Lie群およびその有限商群の設定にどの程度一般化できるか？
• RQ5 与えられたChevalley群と素数 $p$ に対して、直径上限 $\mathrm{diam}(G_n) \leq C n^d$ の明示的定数 $C$ と $d$ の正確な値は何か？

主な発見

• 任意のランク $l$、次元 $k$ のChevalley群 $G$ および $p > \max\left\{\frac{l+2}{2}, 19\right\}$ を満たす素数 $p$ に対して、$G_n = G(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ の直径は、$G$ にのみ依存する定数 $C$ を用いて $\mathrm{diam}(G_n) \leq C p^{2k} n^{10}$ を満たす。
• 直径上限は $\mathrm{diam}(G_n, S) \leq C n^d$ の形で、$d = d_i = \frac{\log(4r)}{\log(2i) - \log(i+1)}$（$r=4$）であり、$i$ が増加するにつれて $d_i$ は $2 + \log_2 3 \approx 3.58$ に減少し、$d$ を2に限りなく近づけることができる。
• $\mathrm{diam}(G_n) \leq C' \log^d |G_n|$ が、$G$ のみに依存するある $C'$ に対して成り立つ。これはこの群のクラスに対するBabai予想の定量的版を提供する。
• 任意の $g \in G_n$ および任意の生成集合 $S$ に対して、$S \cup S^{-1}$ の要素からなる長さが高々 $C n^d$ の語を計算する効率的なアルゴリズムが構築され、明示的定数を伴う。
• この手法は、$p$ が十分に大きいとき、Lie代数 $L_0$ が $\mathbb{Z}_p$ 上で $r=4$ に対して $r$-強く完全であるという事実に依存しており、これにより $\Gamma_n$ の任意の要素が $\Gamma_{n+1}$ をモジュロで高々4つの交換子の和に分解可能である。
• アルゴリズムは再帰的である：$\Gamma_{n-1}$ からの解を交換子分解と再帰呼び出しを用いて $\Gamma_n$ に持ち上げる。これにより語長が $n$ に対して多項式的に増加することが保証される。