[論文レビュー] Dilation of Ritt operators on L^{p}-spaces

Cédric Arhancet, Christian Le Merdy|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 50被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$L^p$-空間上のRitt作用素が一様な平方関数推定を満たすための特徴付けを、拡大理論を用いて確立する。その結果、このような作用素は、ちょうど$R$-Rittであり、補助的な$L^p$-空間上での有界な両側作用素への拡大をもつものに限られることを示し、古典的な転送原理を一般化するとともに、類似する関数計算性質を有する非可換$L^p$-空間へと拡張する。

ABSTRACT

For any Ritt operator T:L^{p}(\\Omega) --> L^{p}(\\Omega), for any positive real number \\alpha, and for any x in L^{p}, we consider the square functions |x |_{T,\\alpha} = \\Bigl| \\Bigl(\\sum_{k=1}^{\\infty} k^{2\\alpha -1}\\bigl |T^{k-1}(I-T)^\\alpha x \\bigr|^2 \\Bigr)^{1/2}_{L^{p}}. We show that if T is actually an R-Ritt operator, then these square functions are pairwise equivalent. Then we show that T and its adjoint T* acting on L^{p'} both satisfy uniform estimates |x|_{T,1} \\lesssim |x|_{L^{p}} and |y|_{T*,1} \\lesssim |y|_{L^{p'}} for x in L^{p} and y in L^{p'} if and only if T is R-Ritt and admits a dilation in the following sense: there exist a measure space \\widetilde{\\Omega}, an isomorphism U of L^{p}(\\widetilde{\\Omega}) such that the sequence of all U^{n} for n varying in Z is bounded, as well as two bounded maps J : L^{p}(\\Omega) --> L^{p}(\\widetilde{\\Omega}) and Q : L^{p}(\\widetilde{\\Omega}) --> L^p(\\Omega) such that T^{n}=QU^{n}J for any nonnegative integer n. We also investigate functional calculus properties of Ritt operators and analogs of the above results on noncommutative L^{p}-spaces.

研究の動機と目的

• 一様な平方関数推定$\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$および$\|y\|_{T^*,1} \lesssim \|y\|_{L^{p'}}$を満たす$L^p(\Omega)$上のRitt作用素$T$を、拡大理論を用いて特徴付ける。
• $R$-Ritt作用素に対して、異なる$\alpha > 0$に対する平方関数$\|\cdot\|_{T,\alpha}$の等価性を示し、特定の$\alpha$に依存しない性質を確立する。
• 非可換$L^p$-空間への拡大特徴付けを、特に$1 < p < \infty$に対して確立し、Stolz領域における有界な$H^\infty$-計算と関連付ける。
• Ritt作用素の関数計算的性質、特に$p$-完全有界写像の性質と双対性における挙動を調査する。

提案手法

• R$-Ritt作用素$T$に対して、$\|x\|_{T,\alpha} = \left\| \left( \sum_{k=1}^\infty k^{2\alpha-1} |T^{k-1}(I-T)^\alpha x|^2 \right)^{1/2} \right\|_{L^p}$を定義する。
• martingale理論および平方関数理論の技法を用いて、$R$-Ritt作用素に対して、すべての$\alpha > 0$に対して$\|\cdot\|_{T,\alpha}$が互いに同値であることを証明する。
• 拡大結果を確立する：$T$が一様推定$\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$および$\|y\|_{T^*,1} \lesssim \|y\|_{L^{p'}}$を満たすための必要十分条件は、$T$が$R$-Rittであり、$U$が$L^p(\widetilde{\Omega})$上で有界で、$\{U^n\}_{n \in \mathbb{Z}}$が一様有界であるような拡大$T^n = Q U^n J$をもつことである。
• 転送原理およびベクトル値$L^p$-理論を用いて、平方関数推定と、$1$におけるStolz領域上での有界な$H^\infty$-計算の存在を関連付ける。
• 双対性および同型$\text{Rad}(L^p(M))^* \approx \text{Rad}(L^{p'}(M))$を用いて、非可換$L^p$-空間への結果の拡張を実行する。
• $p$-完全有界写像および$K$-凸性の理論を適用し、平方関数および拡大構造の非可換類似物を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^p(\Omega)$上のRitt作用素$T$が、すべての$x \in L^p(\Omega)$に対して一様な平方関数推定$\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$を満たすのは、いつか？
• RQ2 作用素$T$およびその随伴$T^*$の平方関数推定と、拡大の存在との間の正確な関係は何か？
• RQ3 R$-Rittであるとき、$\alpha > 0$の異なる値に対して、平方関数$\|\cdot\|_{T,\alpha}$はどのように振る舞うか？
• RQ4 拡大特徴付けは非可換$L^p$-空間へと拡張可能か？また、$K$-凸性はどのような役割を果たすか？
• RQ5 一様な平方関数推定と、$I-T$がStolz領域上で有界な$H^\infty$-計算をもつことの間には、どのような関係があるか？

主な発見

• $R$-Ritt作用素$T$が$L^p(\Omega)$上に存在する限り、すべての$\alpha > 0$に対して平方関数$\|\cdot\|_{T,\alpha}$が互いに同値であることが保証され、一様スケール不変性の強力な性質が確立される。
• 一様推定$\|x\|_{T,1} \lesssim \|x\|_{L^p}$および$\|y\|_{T^*,1} \lesssim \|y\|_{L^{p'}}$が成り立つための必要十分条件は、$T$が$R$-Rittであり、$U$が$L^p(\widetilde{\Omega})$上で有界で、$\{U^n\}_{n \in \mathbb{Z}}$が一様有界であるような拡大$T^n = Q U^n J$をもつことである。
• $R$-Ritt条件は、平方関数$\|\cdot\|_{T,\alpha}$の等価性にとって必要かつ十分であり、これは拡大特徴付けの主要なステップである。
• 結果は非可換$L^p$-空間へと拡張可能である：$T$が非可換な緩い拡大をもつための必要十分条件は、$T$および$T^*$の両方の推定を満たすことであり、これは$I-T$が$1$におけるStolz領域上で有界な$H^\infty$-計算をもつことと同値である。
• 特に$p \geq 2$の場合、一様推定は、平方関数およびその随伴版がすべて$C\|x\|_{L^p}$で一様に有界であるような定数$C$の存在と同値である。
• 双対性構造$\text{Rad}(L^p(M))^* \approx \text{Rad}(L^{p'}(M))$により、非可換$L^p$-空間への拡大理論の拡張が可能となり、重要な推定が保存される。