[論文レビュー] Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and applications to $L^2$-Betti numbers

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Jul 10, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限von Neumann代数上の任意の加群に対して一般化された次元関数を導入し、古典的なvon Neumann次元を非射影加群へ拡張するとともに、加法性や連続性といった重要な性質を保ち続ける。この関数を用いて、離散群作用をもつ任意の位相空間に対する$L^2$ベッチ数を定義し、アメーブル群の場合、これらの不変量が特異ホモロジーの群環$\mathbb{C}\Gamma$-加群構造のみに依存することを示し、低次の$L^2$ベッチ数の消滅結果と、グロテンディーク群およびバーンサイド群における新しい構造を確立する。

ABSTRACT

We define for arbitrary modules over a finite von Neumann algebra $\cala$ a dimension taking values in $[0,\infty]$ which extends the classical notion of von Neumann dimension for finitely generated projective $\cala$-modules and inherits all its useful properties such as additivity, cofinality and continuity. This allows to define $L^2$-Betti numbers for arbitrary topological spaces with an action of a discrete group $Γ$ extending the well-known definition for regular coverings of compact manifolds. We show for an amenable group $Γ$ that the $p$-th $L^2$-Betti number depends only on the $\ccΓ$-module given by the $p$-th singular homology. Using the generalized dimension function we detect elements in $G_0(\ccΓ)$, provided that $Γ$ is amenable. We investigate the class of groups for which the zero-th and first $L^2$-Betti numbers resp. all $L^2$-Betti numbers vanish. We study $L^2$-Euler characteristics and introduce for a discrete group $Γ$ its Burnside group extending the classical notions of Burnside ring and Burnside ring congruences for finite $Γ$. Keywords: Dimension functions for finite von Neumann algebras, $L^2$-Betti numbers, amenable groups, Grothendieck groups, Burnside groups

研究の動機と目的

• 有限生成射影加群から有限von Neumann代数上の任意の加群へ古典的なvon Neumann次元を拡張すること。
• コンパクト多様体の正規被覆に限らない、任意の位相空間と離散群作用に対して$L^2$ベッチ数を定義すること。
• 群$\Gamma$がアメーブルであるとき、$L^2$ベッチ数が特異ホモロジーの$\mathbb{C}\Gamma$-加群構造にのみ依存することを調査すること。
• 一般化された次元関数を用いて、グロテンディーク群$G_0(\mathbb{C}\Gamma)$内の要素を同定すること。
• 低次の$L^2$ベッチ数の消滅を研究し、離散群に対してバーンサイド群を導入すること。

提案手法

• 有限von Neumann代数$\mathcal{A}$上の任意の加群に対して、$[0,\infty]$値をとる次元関数を導入し、古典的なvon Neumann次元を拡張すること。
• この一般化された次元が加法的で、連続的かつ共終的であることを証明し、ホモロジー的応用において堅牢であることを保証すること。
• この次元関数を用いて、その特異ホモロジーの$\mathcal{A}$-加群構造を介して、離散群作用をもつ位相空間の$L^2$ベッチ数を定義すること。
• 次元関数を用いて、アメーブル群$\Gamma$に対して、$p$番目の$L^2$ベッチ数が、$p$番目の特異ホモロジー群の$\mathbb{C}\Gamma$-加群構造にのみ依存することを示すこと。
• $L^2$不変量を用いて、古典的なバーンサイド環の概念を拡張し、離散群$\Gamma$に対してバーンサイド群を構成すること。
• 零次のおよび最初の$L^2$ベッチ数が消える群のクラスを分析し、一般にすべての$L^2$ベッチ数が消える場合を検討すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限von Neumann代数上の任意の加群へ、von Neumann次元を有限生成射影加群からどのように拡張できるか？
• RQ2 群作用をもつ空間の$L^2$ベッチ数が、そのホモロジーの$\mathbb{C}\Gamma$-加群構造にのみ依存するための条件は何か？
• RQ3 どのクラスの離散群に対して、零次のおよび最初の$L^2$ベッチ数が消えるか？
• RQ4 一般化された次元関数を用いて、グロテンディーク群$G_0(\mathbb{C}\Gamma)$内の非自明な要素をどのように同定できるか？
• RQ5 離散群$\Gamma$に関連するバーンサイド群の構造は何か？また、$L^2$不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化された次元関数は、有限von Neumann代数上の任意の加群へ古典的なvon Neumann次元を拡張し、加法性、連続性、共終性を保っている。
• アメーブル群$\Gamma$に対して、$\Gamma$作用をもつ空間の$p$番目の$L^2$ベッチ数は、$p$番目の特異ホモロジー群の$\mathbb{C}\Gamma$-加群構造にのみ依存する。
• 群$\Gamma$がアメーブルであるとき、一般化された次元関数を用いて、グロテンディーク群$G_0(\mathbb{C}\Gamma)$内の非自明な要素を同定した。
• 分類空間がその次数で$\ell^2$ホモロジーが自明である群に対して、零次のおよび最初の$L^2$ベッチ数は消える。
• 論文は、離散群$\Gamma$に対してバーンサイド群を導入し、古典的なバーンサイド環の構成を一般化した。また、$L^2$不変量とその関係を明らかにした。