[論文レビュー] Discrete local holomorphic dynamics

Marco Abate|ArXiv.org|Oct 7, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本調査は、複素多様体上の固定点近傍における離散的局所正則力学系について、安定集合 $ K_f $ の構造、その上での力学的挙動、および正規形への同相による分類に焦点を当てた包括的な概説を提示する。主な結果として、半吸引的系における放物的多様体の存在、および他の固有値がブリュノ条件を満たす場合に、固有値1の固有空間に接する不変曲線の存在条件が得られる。

ABSTRACT

This is a survey on the local structure about a fixed point of discrete finite-dimensional holomorphic dynamical systems, discussing in particular the existence of local topological conjugacies to normal forms, and the structure of local stable sets in the non-hyperbolic case. The author hopes to keep the survey up to date, and thus it would be grateful to anybody pointing out missing (or mistaken) results and references, and/or suggesting topics to be included or expanded in it.

研究の動機と目的

• 正則局所力学系の固定点における安定集合 $ K_f $ の位相的・力学的構造を理解すること。
• 正則的または位相的同相を用いて、より単純な正規形へのこのような系の分類を行うこと。
• 同相類を決定づける不変量を特定し、特定の固有値条件の下での不変部分多様体の存在を調査すること。
• 固有値1とその他の固有値の絶対値が1未塔である半吸引的系の力学を調査すること。
• 他の固有値がブリュノ条件を満たす場合に、固有値1の固有空間に接する放物的曲線が存在する条件を確立すること。

提案手法

• すべての反復写像 $ f $ が定義されている最大の領域として、$ K_f = \bigcap_{k=0}^\infty f^{-k}(U) $ を安定集合と定義する。
• 正則的または位相的局所同相を用いて、系をより単純で動的同値な正規形に還元する。
• 局所座標を用いて、$ f_1(z,w) $ が単位写像に接し、$ f_2(z,w) $ が収縮的力学を持つ形に $ f $ を表現する。
• 正規形理論および通常双曲的系の理論の結果を用いて、不変多様体の存在を分析する。
• ブリュノ条件と新しい正則的不変量を用いて、固有値が1と $ e^{2\pi i\theta} $ である場合の放物的曲線の存在を決定する。
• リヴィおよびブラッチ＝モリーノの結果を活用し、ブリュノ条件を満たす無理数回転への不変曲線と同相性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定集合 $ K_f $ の位相的構造は何か？ また、その内部が空でないのはいつか？
• RQ2 系 $ (K_f, f) $ の力学的構造、特に漸近的挙動や稠密な軌道、不変部分集合の存在は？
• RQ3 任意の正則局所力学系が正則的または位相的に正規形に同相化可能かどうか。また、そのような系を分類する不変量は何か？
• RQ4 固有値1と収縮的固有値をもつ半吸引的系が、放物的多様体または不変曲線をもつ条件は何か？
• RQ5 固有値が1と $ e^{2\pi i\theta} $ で、$ \theta $ がブリュノ条件を満たす正則写像が、固有値1の固有空間に接する正則的不変曲線をもつのはいつか？

主な発見

• 固有値1の重複度が $ q $ で、他の固有値の絶対値が1未塔である半吸引的系に対して、$ \nu - 1 $ 個の互いに素な $ f $-不変な $ (n-q+1) $ 次元複素部分多様体 $ M_j $ が存在し、それらの軌道は $ \mathbb{C}v \oplus E $ に接線的に収束する。ここで $ v $ は非退化な特徴的方向、$ E $ は収縮的固有値の一般化固有空間の和である。
• 固有値1が非退化で、他の固有値 $ \lambda_2 $ が $ |\lambda_2| \neq 0,1 $ を満たす場合、$ \lambda_1 $ が原始 $ q $ 乗根であると仮定すれば、系は $ (z,w) \mapsto (\lambda_1 z + z^{kq+1}, \lambda_2 w) $ の形に位相的同相である。ここで $ k \in \mathbb{N}^* $ である。
• 固有値 $ e^{2\pi i\theta} \neq 1 $ がブリュノ条件を満たすならば、$ f $ は原点を通る1次元正則的円板上で無理数回転に同相である。
• 固有値1と $ e^{2\pi i\theta} $ をもつ一般の写像に対して、ブラッチとモリーノは、放物的曲線が存在するための十分条件（2つの新しい正則的不変量を用いて記述）を提供する。
• このような放物的曲線の存在は、写像に一般的な条件が成り立つ場合、ブリュノ条件を仮定しないまま保証される。
• 本論文では、半吸引的系の正則的分類は未解決のまま残っているが、ケニル・マルティンズの結果を用いて、次元2では位相的分類が可能であることが示された。