[論文レビュー] Discrete Wasserstein Barycenters: Optimal Transport for Discrete Data

Ethan Anderes, Steffen Borgwardt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、入力確率測度が有限な台を持つ離散設定における Wasserstein バリオセントラの理論的基盤を確立する。離散バリオセントラが常に離散的かつスパースであることを証明し、一般の離散輸送とは異なり、質量を分割しない輸送計画を持つことを示す。これにより、線形計画法を用いた効率的な計算が可能となり、物流やデータ解析への応用における強いスパース性の上限が得られる。

ABSTRACT

Wasserstein barycenters correspond to optimal solutions of transportation problems for several marginals, and as such have a wide range of applications ranging from economics to statistics and computer science. When the marginal probability measures are absolutely continuous (or vanish on small sets) the theory of Wasserstein barycenters is well-developed (see the seminal paper [1]). However, exact continuous computation of Wasserstein barycenters in this setting is tractable in only a small number of specialized cases. Moreover, in many applications data is given as a set of probability measures with finite support. In this paper, we develop theoretical results for Wasserstein barycenters in this discrete setting. Our results rely heavily on polyhedral theory which is possible due to the discrete structure of the marginals. Our results closely mirror those in the continuous case with a few exceptions. In this discrete setting we establish that Wasserstein barycenters must also be discrete measures and there is always a barycenter which is provably sparse. Moreover, for each Wasserstein barycenter there exists a non-mass-splitting optimal transport to each of the discrete marginals. Such non-mass-splitting transports do not generally exist between two discrete measures unless special mass balance conditions hold. This makes Wasserstein barycenters in this discrete setting special in this regard. We illustrate the results of our discrete barycenter theory with a proof-of-concept computation for a hypothetical transportation problem with multiple marginals: distributing a fixed set of goods when the demand can take on different distributional shapes characterized by the discrete marginal distributions. A Wasserstein barycenter, in this case, represents an optimal distribution of inventory facilities which minimize the squared distance/transportation cost totaled over all demands.

研究の動機と目的

• 入力確率測度が有限な台を持つ離散の場合に、Wasserstein バリオセントラの厳密な理論的枠組みを構築すること。
• 既存の理論が主に絶対連続測度に焦点を当てていることへのギャップを埋めるために、現実世界の離散データに適用可能な結果を確立すること。
• 離散バリオセントラが必然的に離散的かつスパース的であり、その台の大きさにタイトな上界が得られることを証明すること。
• バリオセントラから各周辺測度への最適輸送写像が質量を分割しないことの存在を示すこと。これは一般に離散測度に対して成り立たない性質である。
• 多面体理論に基づく有限次元の線形計画法の定式化を通じて、バリオセントラの実用的計算を可能にすること。

提案手法

• 入力測度の有限な台の性質を活用し、離散 Wasserstein バリオセントラの構造を多面体理論を用いて分析する。
• 質量再配分に関する組合せ的制約から導かれる、バリオセントラの候補台点の有限被覆集合 S を用意する。
• バリオセントラと各周辺測度との間の連携輸送計画を変数とする線形計画問題（LP）としてバリオセントラ計算をモデル化する。
• 多周辺最適輸送問題の双対定式化を適用し、スパース性および構造的保証を得る。
• 実際の計算において、JuMP のモデリング言語と COIN-OR Clp ソルバを用いて、バリオセントラを効率的に計算する。
• 組合せ的恒等式（例：星とバーバリエーション）を用いて、バリオセントラにおける非ゼロ台点の最大数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての入力測度が有限な台を持つ離散の場合に、Wasserstein バリオセントラを厳密に特徴づけることは可能か？
• RQ2 離散バリオセントラに保証できる構造的性質（例：スパース性、台の大きさ）は何か？
• RQ3 バリオセントラから各周辺測度への最適輸送計画が質量を分割しないのは、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 理論的構造を踏まえて、離散バリオセントラを実用的に効率的に計算する方法は何か？
• RQ5 離散バリオセントラは、連続の場合に観察された質量分割のない性質を、どの程度まで保っているのか？

主な発見

• 離散 Wasserstein バリオセントラは、入力測度が離散的であっても、常に離散的測度である。
• スパース性が保証されるバリオセントラが存在し、9都市と8か月の状況では、台点の数に $ 65 = 9 \times 8 - 8 + 1 $ という上界が存在する。
• 事例研究における計算済みバリオセントラの台は $ |\text{supp}(\bar{P})| = 63 $ であり、理論的なスパース性の上限に非常に近い。
• バリオセントラの解は、サイズが $ \binom{16}{8} = 12,870 $ の被覆集合 $ S $ のうちたった 0.5% の台点のみを用いている。
• 各周辺測度に対して、バリオセントラから質量を分割しない最適輸送写像が存在する。これは離散設定において非自明な性質である。
• バリオセントラの特別な構造のおかげで、任意の離散測度間では存在しない場合でも、すべての周辺測度に対して質量を分割しない輸送写像の存在が保証される。