[論文レビュー] Dissipative flow equations

Lorenzo Rosso, Fernando Iemini+2 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jul 23, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リンドブラドマスター方程式で記述される開放量子系に、流れ方程式法を一般化し、非エルミート的超作用素を対角化するための3つの生成子を導入する。これにより、散乱的フェルミオン系の正確かつ近似的な解析が可能となり、駆動・散乱系および不規則系における固有値構造や相転移の解明が可能になる。1次元系では、非摂動的挙動と損失誘発相転移点における臨界スケーリングを示す固有値の解析的解が得られる。

ABSTRACT

We generalize the theory of flow equations to open quantum systems focusing on Lindblad master equations. We introduce and discuss three different generators of the flow that transform a linear non-Hermitian operator into a diagonal one. We first test our dissipative flow equations on a generic matrix and on a physical problem with a driven-dissipative single fermionic mode. We then move to problems with many fermionic modes and discuss the interplay between coherent (disordered) dynamics and localized losses. Our method can also be applied to non-Hermitian Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 元々ヒルベルトハミルトニアンに対して開発された流れ方程式法を、リンドブラドマスター方程式に従う開放量子系における非エルミート的ダイナミクスにまで拡張すること。
• 線形非エルミート的超作用素を対角形に変換するための3つの異なる生成子を開発し、散乱的ダイナミクスの固有値解析を可能にすること。
• 局所的損失および増幅を有する二次フェルミオン系にこの手法を適用し、不規則系におけるコherentダイナミクスと散乱の相互作用を検討すること。
• 散乱的シュリフェル・ウルフ変換との関係を確立し、流れ方程式フレームワークを用いた新たな導出を提供すること。
• 正確解が得られない強い相互作用および可解でない系への散乱的流れ方程式の応用の基盤を築くこと。

提案手法

• WegnerおよびWhiteの元来の手法にインspiredされた、非エルミート的超作用素を対角形に変換する3つの異なる流れ方程式の生成子を提案する。
• フェルミオンの超作用素形式を用いて、二次的リンドブラドマスター方程式を扱い、開放フェルミオン系の取り扱いを可能にする。
• 流れ方程式を用いて散乱的ダイナミクスの生成子を対角化し、固有値および固有モードの直接抽出を可能にする。
• 一般行列および駆動・散乱系の単一フェルミオンモードを用いた数値的検証を通じて、手法の収束性および正確性を検証する。
• 線形スペクトルを持つ1次元散乱モデルに適用し、大バンド幅極限における解析的固有値方程式を導出する。
• ディガマ関数の漸近展開および正接関数の近似を用いて、異なる物理的領域における固有値の解析的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流れ方程式法は、ヒルベルトハミルトニアンから非エルミート的超作用素への一般化はどのように可能か？
• RQ2 散乱的流れ方程式の収束条件は何か？また、提案された3つの生成子は性能および安定性においてどのように比較できるか？
• RQ3 コherentダイナミクスと局所的損失の相互作用は、フェルミオン系のスペクトルおよび緩和特性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 散乱的流れ方程式は、二次モデルにおける既知の解析的結果を再現できるか？非摂動的領域ではどのような洞察を提供するか？
• RQ5 線形分散および局所的散乱を有する1次元系における固有値スペクトルの性質は何か？また、損失誘発相転移点でどのように臨界的挙動を示すか？

主な発見

• 本手法は、リンドブラドマスター方程式における非エルミート的超作用素の対角化に成功し、開放量子系における固有値および固有モードの直接計算を可能にする。
• 線形分散を有する1次元系では、固有値方程式がcothおよび逆正 tangent 関数を含む超越的形に簡略化され、極限領域における解析的解が得られる。
• 深いつながり摂動領域（γ ≪ v）では、固有値の虚部はλ_I ≈ −ħγ/(2L)とスケーリングされ、摂動的期待と整合する。
• 非摂動的領域（γ ≫ v）では、固有値はλ_I ∼ −∞に発散し、摂動論の破綻と非自明なダイナミクスの出現を示す。
• γ ≈ 4vで臨界的転移が発生し、固有値構造が本質的に変化する。x < 0の領域でcoth(x) < −1であることは、非解析的挙動を示唆する。
• ベンチマークモデルにおいて正確な数値結果を再現し、強相関および可解でない散乱的系への応用における正確性と可能性を検証する。