[論文レビュー] Distinguishing Short Quantum Computations

Bill Rosgen|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、混合状態における対数的深さの量子回路の区別がQIP完全であることを示しており、これは、量子インタラクティブプローフシステムにおける最も難しい問題と同程度に難しいことを意味する。並列化技術と忠実度に基づく解析を用いて、著者らは、短い量子回路ですら、区別可能性の観点から多項式的深さの回路が持つ完全な計算能力を保持していることを示している。これは、ノイズの多い量子実装の検証に影響を及ぼす。

ABSTRACT

Distinguishing logarithmic depth quantum circuits on mixed states is shown to be complete for $QIP$, the class of problems having quantum interactive proof systems. Circuits in this model can represent arbitrary quantum processes, and thus this result has implications for the verification of implementations of quantum algorithms. The distinguishability problem is also complete for $QIP$ on constant depth circuits containing the unbounded fan-out gate. These results are shown by reducing a $QIP$-complete problem to a logarithmic depth version of itself using a parallelization technique.

研究の動機と目的

• 対数的深さの量子回路の区別に関する計算複雑性を調査すること。
• 短い量子回路が、区別可能性の観点から、より長い回路が持つ完全な表現力（expressive power）を保持しているかどうかを特定すること。
• QIP複雑性クラス内での回路区別問題の完全性結果を確立すること。
• 混合状態回路および無制限ファンアウトゲートがQIP完全性の維持に果たす役割を調査すること。

提案手法

• 並列化技術を用いて、QIP完全問題（近接画像問題）を対数的深さバージョンに還元する。
• 忠実度とトレースノルムの測定を用いて、量子回路の区別可能性を制限する。
• ウルマンの定理とフーシュ＝ヴァン・デ・グラーフの不等式を用いて、忠実度とトレース距離を関連付ける。
• テンソル積における最大出力忠実度の乗法性を応用して、構成をスケーリングする。
• ムーア＝ニールセン法を用いて制御回路を構築し、対数的深さを維持する。
• 無制限ファンアウトゲートを用いたスワップテストを導入し、定数深さの制御操作を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的深さの量子回路の区別問題はQIP完全か？
• RQ2 混合状態や無制限ファンアウトゲートの存在が、回路区別問題の複雑性に影響を与えるか？
• RQ3 多項式的深さの量子回路問題を、計算能力の損失なしに、同等の対数的深さバージョンに還元できるか？
• RQ4 短い量子回路の区別可能性は、量子インタラクティブプローフシステムとどのように関係するか？
• RQ5 回路の深さは、量子アルゴリズムの検証にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 混合状態における対数的深さの量子回路の区別はQIP完全である。
• 近接画像問題は、対数的深さ回路に制限されても依然としてQIP完全のままである。
• QIP ⊆ EXP および PSPACE ⊆ QIP の包含関係により、問題はPSPACE困難である。
• 無制限ファンアウトゲートを用いる場合、定数深さ回路に対しても、区別問題はQIP完全である。
• ファンアウトゲートを介して実装可能な制御操作を用いることで、深さが保持される。
• 任意の定数の区別閾値 b < 1（CI1,b に対して）または b < 2（QCD2,b に対して）に対して、結果は成り立つ。