[論文レビュー] Distributions of a particle's position and their asymptotics in the $q$-deformed totally asymmetric zero range process with site dependent jumping rates

Eunghyun Lee, Dong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、サイト依存の遷移レートを有する $q$-deformed Totally Asymmetric Zero Range Process (q-TAZRP) におけるタグ付き粒子の位置の正確な確率分布を、有限系およびステップ初期条件の下で導出する。分布に対してFredholm行列式表現を確立し、時間 $t \to \infty$ の極限においてGUE Tracy–Widom分布への漸近的収束を証明し、ASEPと同様に普遍的な極限挙動を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper we study the probability distribution of the position of a tagged particle in the $q$-deformed Totally Asymmetric Zero Range Process ($q$-TAZRP) with site dependent jumping rates. For a finite particle system, it is derived from the transition probability previously obtained by Wang and Waugh. We also provide the probability distribution formula for a tagged particle in the $q$-TAZRP with the so-called step initial condition in which infinitely many particles occupy one single site and all other sites are unoccupied. For the $q$-TAZRP with step initial condition, we provide a Fredholm determinant representation for the probability distribution function of the position of a tagged particle, and moreover we obtain the limiting distribution function as the time goes to infinity. Our asymptotic result for $q$-TAZRP with step initial condition is comparable to the limiting distribution function obtained by Tracy and Widom for the $k$-th leftmost particle in the asymmetric simple exclusion process with step initial condition (Theorem 2 in Commun. Math. Phys. 290, 129--154 (2009)).

研究の動機と目的

• サイト依存の遷移レートを有する有限 $N$-粒子 $q$-TAZRP におけるタグ付き粒子の位置の正確な確率分布を導出すること。
• 無限に多くの粒子が1つのサイトに占有されるステップ初期条件への解析を拡張すること。
• ステップ初期条件の下での位置分布に対してFredholm行列式表現を提供すること。
• 時間 $t \to \infty$ の極限における分布の漸近的挙動を、特に固定された粒子ランク $m$ の下で分析すること。
• ASEPにおける結果と類似する形で、極限分布がGUE Tracy–Widom法則に一致することを示すことにより、普遍性を確立すること。

提案手法

• WangとWaughの有限 $q$-TAZRPにおけるサイト依存レート $g(k;x) = a_x(1 - q^k)$ を有する遷移確率から、$m$ 番目に右側の粒子の周辺分布を導出する。
• ステップ初期条件の下でのタグ付き粒子位置の確率母関数を、コン tour 積分表現を用いて表現する。
• トレースクラス作用素を介して、タグ付き粒子位置の累積分布関数のFredholm行列式表現を構築する。
• 時間 $t \to \infty$ の極限におけるFredholm行列式の漸近的解析を、$n^{2/3}$、$n^{1/2}$、$n^{1/3}$ 項を含むスケーリング極限を用いて行う。
• $q$-TASEPおよび確率的行列理論（GUE、BBP、GUE固有値分布）の既知の結果を活用して、極限挙動を解釈する。
• スケーリングパラメータを定義するため、特殊関数 $q$-digamma関数および $q$-trigamma関数 ($\Psi_q$, $\Psi_q'$) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイト依存の遷移レートを有する有限 $q$-TAZRPにおけるタグ付き粒子の位置の正確な確率分布は何か？
• RQ2 ステップ初期条件の下で、$q$-TAZRPにおける $m$ 番目に右側の粒子の位置分布はどのように振る舞うか？
• RQ3 ステップ初期条件の下で、位置分布はFredholm行列式として表現可能か？
• RQ4 固定された $m$ の下で、時間 $t \to \infty$ の極限におけるタグ付き粒子位置の極限分布は何か？
• RQ5 極限分布は、ASEPおよび $q$-TASEPで観察されたTracy–Widom法則と類似した普遍的挙動を示すか？

主な発見

• サイト依存レートを有する有限 $q$-TAZRPにおける $m$ 番目に右側の粒子の確率分布は、既知の遷移確率の周辺分布として明示的に導出された。
• ステップ初期条件の下で、タグ付き粒子位置の累積分布関数は、コン tour 積分上のトレースクラス作用素のFredholm行列式として表現された。
• 極限 $t \to \infty$ において、$m$ 番目に右側の粒子の分布は、$\theta > \log_q \alpha$ のときGUE Tracy–Widom分布に収束する。これは、Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) 型のフラクチュエーションの普遍的挙動を示している。
• $\theta = \log_q \alpha$ のとき、極限分布はランク $k$ のBBP分布に対応し、系のフラクチュエーション挙動における相転移を反映している。
• $\theta < \log_q \alpha$ のとき、極限分布は $k \times k$ GUE行列の最大固有値に対応し、異なるフラクチュエーション領域を示している。
• 漸近的結果は、相互作用粒子系における新たな普遍的挙動を確認しており、極限分布が類似スケーリング下での非対称排除過程（ASEP）と一致することを示している。