[논문 리뷰] Dividing Bads is Harder than Dividing Goods: On the Complexity of Fair and Efficient Division of Chores

Bhaskar Ray Chaudhury, Jugal Garg외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 01.

Economic theories and models참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 불이익 함수 하에서 공정하고 효율적인 분배 문제의 계산 복잡도를 조사하며, 어떤 에이전트도 매우 싫어하는 물건을 배정받지 않는 경쟁 균형을 찾는 것이 강한 NP-난이도임을 보여준다. 또한 존재를 위한 단순한 충분조건이 성립하는 경우조차도 그러한 균형을 계산하는 것이 PPAD-난이도임을 증명한다—이것은 상품 분배의 다루기 쉬운 케이스와 뚜렷한 대비를 이룬다.

ABSTRACT

We study the chore division problem where a set of agents needs to divide a set of chores (bads) among themselves fairly and efficiently. We assume that agents have linear disutility (cost) functions. Like for the case of goods, competitive division is known to be arguably the best mechanism for the bads as well. However, unlike goods, there are multiple competitive divisions with very different disutility value profiles in bads. Although all competitive divisions satisfy the standard notions of fairness and efficiency, some divisions are significantly fairer and efficient than the others. This raises two important natural questions: Does there exist a competitive division in which no agent is assigned a chore that she hugely dislikes? Are there simple sufficient conditions for the existence and polynomial-time algorithms assuming them? We investigate both these questions in this paper. We show that the first problem is strongly NP-hard. Further, we derive a simple sufficient condition for the existence, and we show that finding a competitive division is PPAD-hard assuming the condition. These results are in sharp contrast to the case of goods where both problems are strongly polynomial-time solvable. To the best of our knowledge, these are the first hardness results for the chore division problem, and, in fact, for any economic model under linear preferences.

연구 동기 및 목표

• 어느 에이전트도 매우 싫어하는 물건을 배정받지 않는 경쟁적 분배가 존재하는지 확인하는 것.
• 그러한 공정하고 효율적인 분배의 존재를 위한 단순한 충분조건을 특정하는 것.
• 그 조건 하에서 경쟁 균형을 찾는 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 유사한 문제들이 다항시간 내에 해결 가능한 잘 이해된 상품 분배의 케이스와는 대비하여 분배 문제를 분석하는 것.
• 선형 선호도 하에서, 이전에 탐색되지 않은 도메인인 계산 경제학에서 분배 문제의 기초적인 난이도 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 기존의 PPAD-난이도 결과를 활용하여 문제를 정규화된 다항매트릭스 게임으로 환원하는 것.
• 다항매트릭스 게임 인스턴스를 특정 충분조건을 만족하는 분배 문제 인스턴스로 환원하는 것.
• 가격 조정 및 비율 증폭 성질을 이용해 균형 가격의 구조적 제약을 강제하는 것.
• 고정 수익 및 가격 동등성 보조정리를 적용하여 에이전트 수익과 물건 가격의 범위를 유도하는 것.
• 가격 비율에 기반한 모순 추론을 통해 특정 할당이 균형 제약 조건 하에서 불가능함을 보이는 것.
• 에이전트의 어떤 물건에 대한 불이익이 너무 클 경우, 균형 조건 하에서 할당이 0이 되어야 함을 가격 및 수익 부등식을 통해 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 에이전트도 매우 싫어하는 물건을 배정받지 않는 경쟁적 분배를 찾는 것이 계산적으로 어려운가?
• RQ2 그러한 분배의 존재를 위한 단순한 충분조건이 존재하는가? 그리고 그러한 분배는 효율적으로 계산될 수 있는가?
• RQ3 선형 선호도 하에서 분배 문제의 복잡도는 상품 분배 문제와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 제한된 불이익을 가진 경쟁 균형의 존재 여부를 다항시간 내에 결정할 수 있는가?
• RQ5 경제의 어떤 구조적 성질(예: 가격 비율, 자산 배분 등)이 균형 상태에서 싫어하는 물건의 할당을 방지하는가?

주요 결과

• 어느 에이전트도 주어진 임계값 τ를 초과하는 불이익을 가진 물건을 할당받지 않는 경쟁적 분배를 찾는 문제는 강한 NP-난이도이며, CEEI 설정에서도 마찬가지이다.
• 존재를 위한 단순한 충분조건이 성립하는 경우조차도 경쟁적 분배를 계산하는 것은 PPAD-난이도이므로, 본질적인 계산 비가역성이 존재한다.
• 이러한 난이도 결과는 상품 분배의 케이스와 뚜렷한 대비를 이룬다. 상품 분배의 경우 두 문제 모두 강한 다항시간 내에 해결 가능하다.
• 저자들은 선형 선호도 하에서 분배 문제에 대해 알려진 최초의 난이도 결과를 확립하였으며, 선형 선호도를 가진 어떤 경제 모델에 대해서도 마찬가지이다.
• 정규화된 다항매트릭스 게임에서 분배 문제로의 환원은 경제가 자연스러운 충분조건을 만족하더라도 PPAD-난이도를 증명한다.
• 증명은 가격 비율을 구조적 제약을 통해 강제하는 데 의존하며, 이는 가격 비율이 특정 범위를 위반할 경우 고불이익 물건이 할당될 수 없음을 보여준다.