[論文レビュー] Dominance inequalities for scheduling around an unrestrictive common due date

Anne-Elisabeth Falq, Pierre Fouilhoux+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2021

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、挿入およびスワップ近傍操作から導出された線形制約である支配不等式を導入し、非制限共通期日スケジューリング問題のコン pact な混合整数プログラミング（MIP）定式化を強化する。非局所最適でない整数解をカットすることで、計算時間を著しく短縮し、150タスクのインスタンスを1時間以内に正確に解けるようになり、従来手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

The problem considered in this work consists in scheduling a set of tasks on a single machine, around an unrestrictive common due date to minimize the weighted sum of earliness and tardiness. This problem can be formulated as a compact mixed integer program (MIP). In this article, we focus on neighborhood-based dominance properties, where the neighborhood is associated to insert and swap operations. We derive from these properties a local search procedure providing a very good heuristic solution. The main contribution of this work stands in an exact solving context: we derive constraints eliminating the non locally optimal solutions with respect to the insert and swap operations. We propose linear inequalities translating these constraints to strengthen the MIP compact formulation. These inequalities, called dominance inequalities, are different from standard reinforcement inequalities. We provide a numerical analysis which shows that adding these inequalities significantly reduces the computation time required for solving the scheduling problem using a standard solver.

研究の動機と目的

• 非制限共通期日を有する単一マシンスケジューリング問題というNP困難な問題に取り組む。
• 挿入およびスワップ操作に基づく近傍に基づく支配性の性質を活用し、正確なMIP定式化における部分最適解を排除する。
• 標準的な強化や対称性を崩すカットとは異なり、非局所最適解をカットする新しい種類の線形不等式である支配不等式を考案する。
• これらの不等式をコン pact MIP定式化に統合することで、正確なソルバー（例：CPLEX）の性能を向上させる。
• 支配不等式がヒューリスティックおよび正確な解法の両方の文脈で有効であることを示す。

提案手法

• 分割変数を用いて非制限共通期日問題（UCDDP）をコン pact な混合整数計画問題（MIP）として定式化し、構造的支配性の性質によって支配的スケジュールを符号化する。
• タスク列に対する挿入およびスワップ操作を通じて近傍に基づく支配性の性質を定義し、近傍内での局所最適解を特定する。
• 解が任意の挿入またはスワップ近傍によって局所的に支配されてはならないという条件を数学的に表現する線形不等式（支配不等式）を導出する。
• これらの支配不等式をMIP定式化に統合し、分枝カット法による解法中に非局所最適な整数解を排除する。
• 最適化プロセス中に動的に支配不等式を分離・追加するため、CPLEXにユーザーカットコールバックを実装する。
• 支配不等式をMIP定式化に統合し、根ノードにおける下界を向上させ、探索ノード数を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近傍に基づく支配性の性質（挿入およびスワップ）を、MIP定式化において非局所最適な整数解をカットする線形不等式に変換できるか？
• RQ2 支配不等式は、標準的な強化や対称性を崩す不等式と比較して、MIP解法性能をどのように向上させるか？
• RQ3 支配不等式は計算時間をどの程度短縮し、より大きなUCDDPインスタンスの解法を可能にするか？
• RQ4 支配不等式を追加することで、線形緩和値および根ノードの下界にどのような影響を与えるか？
• RQ5 支配不等式は、スケジューリング問題のヒューリスティックおよび正確な解法の両方の文脈で効果的に使用できるか？

主な発見

• 200タスクのインスタンスに対して、支配不等式を追加すると平均計算時間が10.8%短縮され、ノード数は37.0%削減され、ソルバの効率が著しく向上する。
• 本手法により、150タスクのインスタンスを1時間以内に正確に解けるようになった（従来のMIPアプローチでは不可能であった）。これはスケーラビリティの顕著な向上を示している。
• 50タスクのインスタンスでは、支配不等式の分離実装にO(n³)の分離コストがかかるため、計算時間が1513秒まで上昇したが、これは非効率なコールバック使用によるものであり、不等式自体の非効率性によるものではない。
• CPLEXのプリスケーリングを組み合わせた場合、支配不等式は根ノードの下界を向上させるが、変数を連続的保たれた状態では効果がないため、支配不等式の影響はプリスケーリングおよび分枝意思決定に依存していることが示された。
• 支配不等式から得られるヒューリスティック解は、Biskup & Feldmann (2001a) のものよりも優れており、200タスクまでのインスタンスについて20秒未満で解を得られる。
• 15%のギャップを有する下界を420秒未満で得られるため、支配不等式が下界の改善に有効であることが示された。