[論文レビュー] Donaldson-Thomas theory of A_n x P^1

Davesh Maulik, Alexei Oblomkov|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathcal{A}_n \times \mathbb{P}^1$ の相対Donaldson-Thomas理論に対する完全な解法を確立し、Fock空間上の$\widehat{\mathfrak{gl}}(n+1)$作用の観点から除数作用素を表現する。非退化性の予想のもとで、GW/DT対応を証明し、DT環を$\mathcal{A}_n$上の点のヒルベルトスケールの小量子コホモロジーと特定することで、この相対DT理論に完全な代数的構造を与える。

ABSTRACT

We study the relative Donaldson-Thomas theory of A_n x P^1, where A_n is the surface resolution of a type A_n singularity. The action of divisor operators in the theory is expressed in terms of operators of the affine algebra \hat{gl}(n+1) on Fock space. Assuming a nondegeneracy conjecture, this gives a complete solution for the theory. The results complete the comparison of this theory with the Gromov-Witten theory of A_n x P^1 and the quantum cohomology of the Hilbert scheme of points on A_n.

研究の動機と目的

• 三重に$\mathbb{P}^1$にフィブレーションされた三様体$\mathcal{A}_n \times \mathbb{P}^1$の相対Donaldson-Thomas理論の完全な代数的記述を提供すること。ここで$\mathcal{A}_n$は$A_n$特異点の解消である。
• Fock空間上でのアフィンリー代数$\widehat{\mathfrak{gl}}(n+1)$作用を用いて、DT理論における除数作用素の作用を表現すること。
• 先行研究に基づき、この相対理論におけるGromov-Witten/Donaldson-Thomas対応を確立すること。
• 非退化性の予想のもとで、$H_T^*(\mathrm{Hilb}(\mathcal{A}_n), \mathbb{Q})$のDT環の変形が小量子コホモロジー環と一致することを示すこと。
• 分解とTQFT形式主義を用いて、より高 genus の曲線上の$\mathcal{A}_n$バンドルへの枠組みの拡張を図ること。

提案手法

• 理論は、$X = \mathcal{A}_n \times \mathbb{P}^1$ 上の理想層のモジュライ空間の$T$固定点集合上の留数積分を用いた等化的DT不変量として定式化され、$\mathbb{P}^1$上のファイバーに沿った相対的条件を含む。
• ラバー幾何と相対的モジュライ空間$I_\chi(X/S, (\beta,m))$を用いて、$\mathcal{A}_n$上の点のヒルベルトスケールにおける境界条件を持つ不変量を定義する。
• 除数作用素の作用は、表面の幾何と$T$作用に由来する明示的公式を持つ、$\widehat{\mathfrak{gl}}(n+1)$のFock空間表現における作用素として符号化される。
• 非退化性の予想を仮定することで、作用素$M_D$と$M_{(1,\omega_i)}$の共通固有空間が一様次元になることが保証され、DT環の完全再構成が可能になる。
• 分解技術と三点関数の比較を用いて、除数作用素が両理論で一致することを根拠に、GW/DT対応を証明する。
• Calabi-Yau特化の下で既知の$X(0,-1)$の結果と$\mathcal{A}_n \times \mathbb{P}^1$の相対DT理論を組み合わせることで、$k > 3$の相対的ファイバーに対して、$\mathbb{P}^1$の分解とTQFT形式主義を用いて結果を高 genus の曲線上の$\mathcal{A}_n$バンドルに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対Donaldson-Thomas理論の$\mathcal{A}_n \times \mathbb{P}^1$を代数的構造を用いて完全に計算する方法は何か？
• RQ2 除数作用素のDT理論における明確な作用は何か？ そして表現論とどのように関係するか？
• RQ3 非退化性の予想のもとで、$H_T^*(\mathrm{Hilb}(\mathcal{A}_n), \mathbb{Q})$のDT環の変形は小量子コホモロジー環と一致するか？
• RQ4 この相対DT理論におけるGW/DT対応は確立可能か？ また、$\mathbb{P}^1$の基底の分解に伴ってどのように振る舞うか？
• RQ5 分解とTQFT形式主義を用いて、高 genus の曲線上の$\mathcal{A}_n$バンドルへの枠組みをどのように一般化できるか？

主な発見

• 非退化性の予想のもとで、$\mathcal{A}_n \times \mathbb{P}^1$の相対DTの生成関数は、Fock空間上での$\widehat{\mathfrak{gl}}(n+1)$作用素の作用によって完全に決定される。
• 除数作用素$M_D$と$M_{(1,\omega_i)}$の共通スペクトルに異なる固有値が存在することが示され、それらの共通固有空間が一様次元であるという予想を支持する。
• 非退化性の予想のもとで、$H_T^*(\mathrm{Hilb}(\mathcal{A}_n), \mathbb{Q})$のDT環の変形は除数類によって生成され、小量子コホモロジー環と同型である。
• GW/DT対応はこの理論で成立する：変数変換$-q = e^{iu}$の後、DT理論の三点関数はGromov-Witten理論のそれと一致する。これは除数作用素が両理論で一致するためである。
• 相対的ファイバーが$k > 3$の場合、$\mathbb{P}^1$を有理曲線の鎖に分解することで、$k=3$の場合に還元され、GW/DTの一致が保たれる。
• 分解公式と豊かに拡張されたTQFT形式主義を用いて、$\mathcal{A}_n$バンドルを高 genus の曲線に拡張する枠組みが構築され、$X(0,-1)$に関する既知の結果と$\mathcal{A}_n \times \mathbb{P}^1$の相対DT理論を組み合わせることで実現される。