[論文レビュー] Dual Failure Resilient BFS Structure

Merav Parter|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、重みなし無向グラフにおける二重エッジ障害に耐性を持つ新しいアルゴリズムを提示し、最大2つのエッジ障害後でも、元のソースノードを根とするBFS全域木が依然として存在することを保証するFT-BFS構造を構築する。この手法は、最適な $O(n^{5/3})$ エッジサイズを達成し、下界と一致する。また、複数のソースを想定した一般の $f$-故障耐性においては、$O\left(\log n\right)$-近似アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We study {\em breadth-first search (BFS)} spanning trees, and address the problem of designing a sparse {\em fault-tolerant} BFS structure, or {\em FT-BFS } for short, resilient to the failure of up to two edges in the given undirected unweighted graph $G$, i.e., a sparse subgraph $H$ of $G$ such that subsequent to the failure of up to two edges, the surviving part $H'$ of $H$ still contains a BFS spanning tree for (the surviving part of) $G$. FT-BFS structures, as well as the related notion of replacement paths, have been studied so far for the restricted case of a single failure. It has been noted widely that when concerning shortest-paths in a variety of contexts, there is a sharp qualitative difference between a single failure and two or more failures. Our main results are as follows. We present an algorithm that for every $n$-vertex unweighted undirected graph $G$ and source node $s$ constructs a (two edge failure) FT-BFS structure rooted at $s$ with $O(n^{5/3})$ edges. To provide a useful theory of shortest paths avoiding 2 edges failures, we take a principled approach to classifying the arrangement these paths. We believe that the structural analysis provided in this paper may decrease the barrier for understanding the general case of $f\geq 2$ faults and pave the way to the future design of $f$-fault resilient structures for $f \geq 2$. We also provide a matching lower bound, which in fact holds for the general case of $f \geq 1$ and multiple sources $S \subseteq V$. It shows that for every $f\geq 1$, and integer $1 \leq σ\leq n$, there exist $n$-vertex graphs with a source set $S \subseteq V$ of cardinality $σ$ for which any FT-BFS structure rooted at each $s \in S$, resilient to up to $f$-edge faults has $Ω(σ^{1/(f+1)} \cdot n^{2-1/(f+1)})$ edges.

研究の動機と目的

• 重みなし無向グラフにおいて、最大2つのエッジ障害に耐性を持つスパースな故障耐性BFS構造を設計すること。
• 単一障害耐性を超えた理解のギャップを埋め、ここでは定性的および定量的差異が顕在化することを明らかにすること。
• 二重エッジ障害を回避する最短経路の構造的分類を提供し、耐性構造の体系的設計を可能にすること。
• 特に単一ソースおよび複数ソース設定において、このような構造のサイズに対するタイトな境界を確立すること。
• 任意の定数 $f \geq 1$ に対して、$f$-故障耐性FT-BFS構造を構築する効率的な近似アルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 二重エッジ障害下での代替経路の体系的分類を用い、より複雑な迂回パターンを扱えるように、単一障害時の経路分解を拡張する。
• すべての可能な二重エッジ障害シナリオをカバーするエッジを選択するために、グリーディな集合被覆近似（ApproxSetCover）を適用する。
• 各頂点 $v_i$ に対して、任意の二重エッジ障害 $F$ の後でも $s_k$-$v_i$ 最短経路における潜在的な最後のエッジに対応する、隣接頂点誘導集合 $S_{i,j}$ の集合を計算する。これにより、すべての $\langle s_k, F \rangle$ ペairがカバーされるようにする。
• 故障シナリオをカバーするエッジの集合を選択することでFT-BFS構造を構築し、近似比 $\delta = O(\log n)$ を用いる。
• 逆カバレッジ論法により正しさを証明する：$\mathfrak{F}_i(H)$ が $U$ を完全にカバーしない場合、$H$ は特定の障害後に最短経路を維持できない。
• 各障害シナリオが、生存する部分グラフ内に少なくとも1本の経路によってカバーされるように、段階的な構築法を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みなし無向グラフにおける $n$ 頂点のグラフで、二重エッジ障害に耐性を持つ故障耐性BFS構造の最小サイズは何か？
• RQ2 二重エッジ障害下での代替経路の構造を体系的に分類することで、効率的な構築を可能にする方法は何か？
• RQ3 サイズ $O(n^{5/3})$ の部分グラフを構築し、任意の二重エッジ障害後でもBFS木の機能を維持できるか？
• RQ4 特に $f=2$ の場合を含め、$f \geq 1$ の $f$-故障耐性構造の理論的下界は何か？
• RQ5 任意の定数 $f \geq 1$ に対して、$f$-故障耐性FT-BFS構造を構築する効率的な近似アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 単一ソースグラフにおいて、最大2つのエッジ障害に耐性を持つ $O(n^{5/3})$ サイズのFT-BFS構造が構築された。
• 単一ソース、二重エッジ障害耐性において、$\Omega(n^{5/3})$ エッジの下界が証明され、構造が漸近的に最適であることが示された。
• この下界は、$\sigma$ 個のソースと $f$-エッジ障害に対して、$\Omega(\sigma^{1/(f+1)} \cdot n^{2-1/(f+1)})$ エッジに一般化され、すべての $f \geq 1$ に対して有効である。
• 任意の定数 $f \geq 1$ および任意のソース集合 $S \subseteq V$ に対して、$f$-故障耐性FT-BFS構造を構築する $O(\log n)$-近似アルゴリズムが提供された。
• 構造の正しさは逆カバレッジ論法により証明された：故障シナリオの集合被覆が不完全な場合、特定の障害後に最短経路が保持されない。
• 頂点の近傍に関連する故障シナリオ集合に対するグリーディな集合被覆を活用することで、構造サイズと故障耐性の最適なトレードオフを達成した。