[論文レビュー] Sparse Fault-Tolerant BFS Trees

Merav Parter, David Peleg|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、単一の辺または頂点障害後もBFS構造を維持するスパースな故障耐性BFS木（FT-BFS）およびマルチソースFT-BFS木（FT-MBFS）を構築する決定的アルゴリズムを提示する。最適または近似的最適なサイズバウンドを達成：単一ソースFT-BFSでは$O(n \cdot \min\{\text{Depth}(s), \sqrt{n}\})$本の辺、マルチソースFT-MBFSでは$O(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$本の辺を実現し、下界と一致する。両者に対して$O(\log n)$近似アルゴリズムを提供。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of designing a sparse {\em fault-tolerant} BFS tree, or {\em FT-BFS tree} for short, namely, a sparse subgraph $T$ of the given network $G$ such that subsequent to the failure of a single edge or vertex, the surviving part $T'$ of $T$ still contains a BFS spanning tree for (the surviving part of) $G$. Our main results are as follows. We present an algorithm that for every $n$-vertex graph $G$ and source node $s$ constructs a (single edge failure) FT-BFS tree rooted at $s$ with $O(n \cdot \min\{\Depth(s), \sqrt{n}\})$ edges, where $\Depth(s)$ is the depth of the BFS tree rooted at $s$. This result is complemented by a matching lower bound, showing that there exist $n$-vertex graphs with a source node $s$ for which any edge (or vertex) FT-BFS tree rooted at $s$ has $Ω(n^{3/2})$ edges. We then consider {\em fault-tolerant multi-source BFS trees}, or {\em FT-MBFS trees} for short, aiming to provide (following a failure) a BFS tree rooted at each source $s\in S$ for some subset of sources $S\subseteq V$. Again, tight bounds are provided, showing that there exists a poly-time algorithm that for every $n$-vertex graph and source set $S \subseteq V$ of size $σ$ constructs a (single failure) FT-MBFS tree $T^*(S)$ from each source $s_i \in S$, with $O(\sqrtσ \cdot n^{3/2})$ edges, and on the other hand there exist $n$-vertex graphs with source sets $S \subseteq V$ of cardinality $σ$, on which any FT-MBFS tree from $S$ has $Ω(\sqrtσ\cdot n^{3/2})$ edges. Finally, we propose an $O(\log n)$ approximation algorithm for constructing FT-BFS and FT-MBFS structures. The latter is complemented by a hardness result stating that there exists no $Ω(\log n)$ approximation algorithm for these problems under standard complexity assumptions.

研究の動機と目的

• 単一の辺または頂点障害後もBFS構造を維持するスパースな故障耐性BFS木を設計すること。
• 障害発生後も有効なBFS木が含まれるように、故障耐性構造内の辺の数を最小化すること。
• 複数のソース（FT-MBFS木）への拡張を図り、証明可能なタイトなサイズバウンドを確立すること。
• 先行の確率的手法を改善し、近似保証を備えた決定的アルゴリズムを提供すること。
• FT-BFSおよびFT-MBFS構造のサイズに対して、一致する上界と下界を確立すること。

提案手法

• 故障耐性木のコア構造的要素として、障害した辺を避ける最短$s$-$t$パス（代替パス）を用いる。
• 各頂点に対して必要な代替パスをカバーするように、集合被覆近似（ApproxSetCover）を適用して辺を選択する。
• 各頂点の全ソース-辺ペアをカバーする集合に対応する辺を集約することでFT-BFS木を構築する。
• マルチソースFT-MBFSの場合、各頂点ごとに集合被覆問題として定式化し、集合はソース-辺ペアを表す。
• 各頂点$v_i$がソース-辺ペアの集合系に関連付けられる段階的構築法を採用し、故障耐性を保証する。
• 双対性の議論により正しさを証明：集合被覆が全ペアをカバーしない場合、障害後も最短パスを維持できない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の辺または頂点障害に耐える故障耐性BFS木を構築するのに必要な辺の最小数は何か？
• RQ2 決定的アルゴリズムは、既存の確率的構成と同等またはより良いスパarsityを達成できるか？
• RQ3 与えられたソース集合に対して、故障耐性マルチソースBFS木（FT-MBFS）の最適サイズは何か？
• RQ4 FT-BFSおよびFT-MBFS構造のサイズに対して、タイトな上界と下界を確立できるか？
• RQ5 FT-BFSおよびFT-MBFS木を構築する多項式時間近似アルゴリズムが存在し、性能保証が証明可能か？

主な発見

• 任意の$n$頂点グラフとソース$s$に対して、$O(n \cdot \min\{\text{Depth}(s), \sqrt{n}\})$本の辺からなるFT-BFS木を決定的に構築可能であり、最悪ケース下界$\Omega(n^{3/2})$と一致する。
• ソース数$\sigma$のマルチソースFT-MBFS木に対して、$O(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$本の辺を持つ構造を構築可能であり、下界$\Omega(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$と一致する。
• 本稿では、FT-BFSおよびFT-MBFS両構造に対して$O(\log n)$近似アルゴリズムを提示し、先行の確率的手法に比べて辺数で最大$\sqrt{n}$倍の改善を達成。
• 下界により、単一ソースFT-BFSでは$\Omega(n^{3/2})$本の辺を下回ることは不可能であり、マルチソースFT-MBFSでは$\Omega(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$本の辺を下回ることは不可能であることが示された。
• 近似アルゴリズムは非常にタイトであり、標準の複雑度仮定のもとでは$\Omega(\log n)$近似は存在しない。
• 同じ漸近的バウンドが頂点障害に対しても成立し、辺障害および頂点障害の両方に対して耐性を示す。