[論文レビュー] Dual-Primal Isogeometric Tearing and Interconnecting Solvers for large-scale systems of multipatch continuous Galerkin IgA equations

Christoph Hofer, Ulrich Langer|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非一様な幾何的マッピングを有する大規模なマルチパッチ連続ガラーキン等材解析（IgA）問題へ、二重・プライマル型等材的破壊と接続（IETI-DP）法を拡張する。C0連続性をパッチ界面で満たす条件下で、剛性スケーリングプリコンディショナの条件数の多対数的バインドを証明し、2次元および3次元問題における多様な多項式次数とジャンプ係数を有する数値実験を通じて、そのロバストな性能を検証する。

ABSTRACT

The dual-primal isogeometric tearing and interconnecting (IETI-DP) method is the adaption of the dual-primal finite element tearing and interconnecting (FETI-DP) method to isogeometric analysis of scalar elliptic boundary value problems like, e.g., diffusion problems with heterogeneous diffusion coefficients. The purpose of this paper is to extent the already existing results on condition number estimates to multi-patch domains, which consist of different geometrical mappings for each patch. Another purpose is to prove a polylogarithmic condition number bound for the preconditioned system with stiffness scaling in case of $C^0$ smoothness across patch interfaces. Numerical experiments validate the presented theory.

研究の動機と目的

• IgAにおけるBDDCプリコンディショナの既存の条件数推定値を、各パッチに異なる幾何的マッピングを有するマルチパッチ領域へ拡張すること。
• パッチ界面でC0連続性を満たす条件下で、剛性スケーリングを用いたIETI-DP法の多対数的条件数バインドを導出すること。
• 2次元および3次元領域における多様な多項式次数と不均一な拡散係数を有する数値実験を通じて、理論的知見を検証すること。
• ジャンプする拡散係数がパッチ界面に存在する状況下でも、剛性スケーリングを用いたIETI-DP法のロバスト性を示すこと。

提案手法

• BスプラインおよびNURBS基底関数を活用して、弱い適合ガラーキン離散化を実現することで、FETI-DPフレームワークを等材的解析（IgA）に適応する。
• 幾何的分割を用いて非重複パッチに領域分割し、各パッチを別個の幾何的マッピングによりパラメータ領域に写像する。
• 頂点評価値およびエッジ平均に基づくプライマル制約を用いて、パッチ界面における連続性を強制する二重・プライマルアプローチを実装する。
• シュール補行列系における剛性スケーリングを用いて、条件数バインドの改善を図り、H/hに多対数的依存性を達成する。
• パッチレベルのソルバーには局所的スパースLU分解を、グローバル界面問題には反復的Krylovソルバー（PCG）を用いる。
• G+SMOライブラリおよびEigenのスパースLUを用いて実装し、実行時間と反復回数を用いてパフォーマンスを測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IETI-DPの条件数バインドは、各パッチに異なる幾何的マッピングを有するマルチパッチIgA領域へ拡張可能か？
• RQ2 パッチ界面でC0連続性を満たす条件下で、剛性スケーリングがIETI-DP法に多対数的条件数バインドをもたらすか？
• RQ3 マルチパッチIgA問題において、メッシュの細分化（H/h）および多項式次数に伴い、条件数および反復回数はどのように変化するか？
• RQ4 パッチ界面にジャンプする拡散係数が存在する問題において、剛性スケーリングを用いたIETI-DP法はロバストか？
• RQ5 自由度が増加する2次元および3次元設定におけるIETI-DP法の計算パフォーマンスおよびスケーラビリティはいかほどか？

主な発見

• 剛性スケーリングを用いたIETI-DP法は、C0連続性を満たすマルチパッチIgA問題に対して、O(log^2(H/h))の多対数的条件数バインドを達成する。
• 均一な拡散係数を有する2次元問題では、多項式次数10でも条件数が3.5未満に保たれ、反復回数は11～15の安定した水準を維持する。
• ジャンプする拡散係数に対してもロバストであることが示され、さまざまな係数比においても低条件数および反復回数を維持する。
• 数値実験では、多項式次数の増加に伴い条件数が緩やかに増加し、2次元では次数10で3.5未満、3次元では4.0未満にとどまる。
• パフォーマンス解析から、実行時間の約90％が局所行列のアセンブリおよびLU分解の計算に費やされていることが判明し、3次元では不正確なソルバーの導入が求められる。
• 実装上、条件数および反復回数が問題サイズに伴い緩やかに増加するため、実用的スケーリングが良好であり、理論的予測を確認する。