[論文レビュー] Duality and flat base change on formal schemes

Leovigildo Alonso Tarrı́o, Ana Jeremı́as López+1 more|ArXiv.org|Aug 4, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、デリーニの手法の適応とブラウン表現に基づく代替的アプローチを用いて、ネーター形式的スキーム上の有界でない複体に対するグロタンディーク双対性のグローバルな定式化を確立する。主な貢献は、固有写像および有界下からの複体でそのコホロロジーが俉的である場合の、層化された双対性定理であり、グリーンリーズ＝メイ双対性を介して、局所双対性、形式的双対性、留数定理を回復・統一する。

ABSTRACT

We give several related versions of global Grothendieck Duality for unbounded complexes on noetherian formal schemes. The proofs, based on a non-trivial adaptation of Deligne's method for the special case of ordinary schemes, are reasonably self-contained, modulo the Special Adjoint Functor Theorem. An alternative approach, inspired by Neeman and based on recent results about "Brown Representability," is indicated as well. A section on applications and examples illustrates how these theorems synthesize a number of different duality-related results (local duality, formal duality, residue theorems, dualizing complexes...). A flat-base-change theorem for pseudo-proper maps leads in particular to sheafified versions of duality for bounded-below complexes with quasi-coherent homology. Thanks to Greenlees-May duality, the results take a specially nice form for proper maps and bounded-below complexes with coherent homology.

研究の動機と目的

• ネーター形式的スキーム上の有界でない複体へ、グローバル・グロタンディーク双対性を拡張すること。
• 局所双対性、形式的双対性、留数定理、双対化複体といった、散在する双対性現象を、一つの枠組みで統一すること。
• 擬固有写像に対して平坦基底変換定理を確立し、準連接コホロロジーをもつ有界下からの複体に対する層化された双対性を可能にすること。
• 固有写像および有界下からの複体でそのコホロロジーが俇的である場合、グリーンリーズ＝メイ双対性を介して、双対性が特に洗練された形をとることを示すこと。

提案手法

• 特殊随伴関手定理に依拠して、形式的スキーム上のグローバル双対性にデリーニの手法を適応する。
• 最近の導来カテゴリにおけるブラウン表現に関する結果に基づく代替的アプローチを採用する。
• 導来カテゴリの形式的および $oldsymbol{lat}$-関手の形式的記法を用いて、有界でない複体を扱う。
• 特に ${oldsymbol{lat}}_{ ext{X}}$ および ${oldsymbol{lat}}_{ ext{Y}}$ を用いた torsion および completion 関手を通じて、基底変換の同型を確立する。
• 導来押し出しと hom-対象を結びつけるために、形式的グロタンディーク＝マールグランジュ双対性（形式的-GM）を適用する。
• 随伴 $f^{ extup{ atural}} ot extbf{R}f_*$ および層化された双対性同型を用いて、主要結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネーター形式的スキーム上の有界でない複体に対して、グローバル・グロタンディーク双対性をどのように拡張できるか？
• RQ2 擬固有写像の形式的スキーム設定において、平坦基底変換同型が成り立つための条件は何か？
• RQ3 グリーンリーズ＝メイ双対性は、固有写像および有界下からの複体でそのコホロロジーが俇的な場合の双対性記述をどのように簡潔にするか？
• RQ4 導来関手 $f^{ extup{ atural}}$ と $ extbf{R}f_*$ が、有界下からの俇的複体の部分カテゴリ上で、双対的随伴対をなすのはどのような理由からか？
• RQ5 結果が、形式的スキームの文脈において、局所双対性、形式的双対性、および留数定理をどのように統合するか？

主な発見

• 本稿は、ネーター形式的スキームの固有写像 $f: mspace{1.0mu} extsc{X} o mspace{1.0mu} extsc{Y}$ に対して、俇的コホロロジーをもつ有界下からの複体のカテゴリ ${ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}$ 上で、関手 $f^{ extup{ atural}}$ が $ extbf{R}f_*$ に右随伴であることを証明する。
• ${ mspace{1.0mu} extsc{F}} mspace{1.0mu} ext{in} mspace{1.0mu}{ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}({ mspace{1.0mu} extsc{Y}})$ に対して、基底変換写像 $eta_{{ mspace{1.0mu} extsc{F}}}^{ extup{ atural}}$ が同型であることが確認され、形式的設定における平坦基底変換が成立することが裏付けられる。
• すべての ${ mspace{1.0mu} extsc{G}} mspace{1.0mu} ext{in} mspace{1.0mu}{ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}({ mspace{1.0mu} extsc{X}})$ および ${ mspace{1.0mu} extsc{F}} mspace{1.0mu} ext{in} mspace{1.0mu}{ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}({ mspace{1.0mu} extsc{Y}})$ に対して、双対性同型 $ extbf{R}f_* extbf{R}{ extsc{H}} extsc{om}^{ullet}({ mspace{1.0mu} extsc{G}}, f^{ extup{ atural}}{ mspace{1.0mu} extsc{F}}) o extbf{R}{ extsc{H}} extsc{om}^{ullet}( extbf{R}f_*{ mspace{1.0mu} extsc{G}}, { mspace{1.0mu} extsc{F}})$ が成り立つ。これにより、層化された双対性が確立される。
• ${ mspace{1.0mu} extsc{X}}$ が正しく代数的であるとき、$f^{ extup{ atural}}$ は関手 $f^{ imes}$ に置き換え可能となり、双対性記述が簡略化される。
• 結果は、導来カテゴリおよび随伴の枠組みに基づく統一的枠組みを通じて、局所双対性、形式的双対性、および留数定理を統合する。
• 形式的-GM 双対性同型 ${oldsymbol{lat}}_{ extsc{X}} f^{ atural} mspace{1.0mu} ext{is} mspace{1.0mu} ext{isomorphic to} mspace{1.0mu} f^{ atural}$ により、$f^{ atural}$ が有界下からの俇的複体を保存することが保証される。