[論文レビュー] Duality theory for nonergodic actions

Sergey Neshveyev|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、コンパクト量子群の非定常作用に対する双対性理論を確立する。これは、表現カテゴリ RepG から C*-対応カテゴリへの弱ユニタリテンソル関手を導入することで達成される。このような関手が、G のすべての作用を分類することを示し、従来の定常作用に対する結果を一般化する。また、この構成は、離散量子群上の 2-コサイクルを用いたクローズド積型代数や変形と関連づけられる。

ABSTRACT

Generalizing work by Pinzari and Roberts, we characterize actions of a compact quantum group G on C*-algebras in terms of what we call weak unitary tensor functors from Rep G into categories of C*-correspondences. We discuss the relation of our construction of a C*-algebra from a functor to some well-known crossed product type constructions, such as cross-sectional algebras of Fell bundles and crossed products by Hilbert bimodules. We also relate our setting to recent work of De Commer and Yamashita by showing that any object in a module C*-category over Rep G produces a weak unitary tensor functor, and, as a consequence, actions can also be described in terms of (Rep G)-module C*-categories. As an application we discuss deformations of C*-algebras by cocycles on discrete quantum groups.

研究の動機と目的

• コンパクト量子群のすべての作用を含むように、定常作用に限らない双対性理論を拡張すること。
• コンパクト量子群 G の作用を、RepG から C*-対応カテゴリへの関手として特徴付けること。
• カテゴリカルな記述を、フェルバンドルの切断代数やヒルベルト双加法的モジュールによるクローズド積構成といった既知のものと関連づけること。
• RepG 上のモジュール C*-カテゴリが、De Commer と Yamashita の結果を一般化した G の作用の同値な記述を提供すること。
• この枠組みを用いて、離散量子群上の 2-コサイクルを用いた C*-代数の変形を構成すること。

提案手法

• C*-代数 A 上の C*-対応カテゴリへの、RepG からの弱ユニタリテンソル関手の概念を導入する。
• Woronowicz の再構成法の一般化を用いて、このような関手から C*-代数を構成する。非随伴的写像の取り扱いに注意を払う。
• 得られる代数が G の作用を備えることを示し、既知のクローズド積型代数と整合することを確認する。
• RepG-モジュール C*-カテゴリの任意の対象が、関手 Mor(M, M⊗·) を通じて弱ユニタリテンソル関手を生じることを示す。
• 弱ユニタリテンソル関手のカテゴリと、固定された生成対象をもつ RepG-モジュール C*-カテゴリのカテゴリの間のカテゴリカル同値を確立する。
• 双対離散量子群上の 2-コサイクルによって誘導されるユニタリモノイダル同値を用いて、変形済みと未変形の代数を関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト量子群 G の作用を、その表現カテゴリ RepG のみを用いて完全に特徴付ける方法は何か？
• RQ2 非定常作用の背後にあるカテゴリカル構造は何か？ そして、定常作用とどのように関係しているか？
• RQ3 RepG から CorrA への弱ユニタリテンソル関手は、C*-代数 A 上の G の作用とどのように対応するか？
• RQ4 RepG 上のモジュール C*-カテゴリは、G の作用の別表現として、どのように同値な記述を提供するか？
• RQ5 このカテゴリカル枠組みを用いて、離散量子群上の 2-コサイクルを用いた C*-代数の変形を構成・分類できるか？

主な発見

• コンパクト量子群 G の作用は、C*-代数 A 上の C*-対応カテゴリへの RepG からの弱ユニタリテンソル関手と、自然な一対一対応にある。
• 弱ユニタリテンソル関手から C*-代数を構成する方法は、フェルバンドルの切断代数やヒルベルト双加法的モジュールによるクローズド積構成を含む、既知のクローズド積構成を一般化する。
• RepG-モジュール C*-カテゴリの任意の対象は、自然に弱ユニタリテンソル関手を生じさせ、モジュールカテゴリと関手の間の双対性を確立する。
• 弱ユニタリテンソル関手のカテゴリは、固定された生成対象をもつ RepG-モジュール C*-カテゴリのカテゴリと同値である。
• 離散量子群上の 2-コサイクルによる C*-代数の変形は、この枠組みから自然に生じ、変形済み代数はコサイクルのねじれを用いたクローズド積として実現される。
• 関手的構成において、*-代数構造と一意な C*-完備化が保存され、還元的変形量子群の作用が一意に決定される。